OR

4 /u sin-!/

y prend les valeurs 0, 2^1, ?)h, ..., (/; — i) H. Dans le cas ou y.=:o on aurait oj- = i .

Les équations sont donc

OR

Changement de variables. — Faisons le changement de varia])les.

if,8 ANNEAU DE SATURNE

Oïl a par exemple

Posons de même

^;c-= 7 -fh e

WcA

Les ^., d'iiiic part et les Tj , de Tautre sont denx à deux imagijiaires conjuguées ; d'une façon plus précise je dis que ç, et ç^^ sont imaginaires conjuguées. En effet, on peut écrire

>2'^-(p-v)« = VL.,e--'/'

Celte seconde valeur de p/. se déduit de la première en changeant i en — i et \.^ en ip— . t il faut donc que ^p., se déduise de E., par le changement de i en — i; donc ^.^ et Hp.^ sont imaginaires conjugués. On démontrerait de même que 7;, et •/•,^.^ sont imaginaires conjugués. Si p est pair, ^p est réel, car il est à lui-même

son imaginaire conjugué.

I 'M sera un polynôme du second degré en ç'., qui ne renfermera d'ailleurs que les termes de la forme ç .. ;';>-;• En effet, T et R sont svmétiiques par rapport aux p/, et aux i,.; si l'on permute circulairement les p/, d'une part et les i,^ d'autre part, c'està-dire si l'on remplace ç.. par H, e-'v^, ^'.^ est multiplié par le même facteur.

De même pour rj.^ et r/.^ . Par ce changement ni T ni R ne doivent être modifiés : il faut donc qu'un terme ^'., ç'.,/ se transforme en lui-même ; donc il faut que le changement de variable multiplie ce facteur par e-'^'^' ; il faut donc que

CIlAyaKMEM Di: V.iliJADLh'S

Kii ;ippli(|ii;iiil t()ii|ours le môme raisonnement, on voit qu'en définitive T et l\ ne doivent eontenir ([ne des termes de la forme

Si maintenant on regarde de plus pri's la lormation de la fonction II, on voit (pie Ton peut poser

n = ii.+ iL + ... + ii.^ !-... + 11^,

en écrivant II ii la place de

p . H- ■>-(•-) .;■• A /) - ■ + Çp - :u v H-

L, M, X sont donnés par les iormules

■Vl / sin"*'v cos''^

4 s in" y

VI sm s-'y cos y

■ ' ' 8 sin''v

VI / sin-"vcos" ■!/ sin' vy

2 sin 'y 4 si'* V

Les équations de Lagrange seront alors

,/ / nii \ .Ml,.

et on aura en supprimant les indices

; ' — ; '}'y + 2) — 2(or/= ;j. 'L; + Mr,],

L'équation en ). est

(/.- — t-r — 2 — L;jl) "a- H- X'i.' — ;j.-M- — 4<'-»'>'>') = O-

Discussion des équations. — Quel que soit y, les racines de cette équation en ).■ doivent être réelles et négatives ; on voit que cette condition sera remplie si a est suffisamment petit ;

Maxwell a démontré qu'il fallait que l'on eut a < \ — . Dans

^ jr

ces conditions u.p tend vers zéro quand y; augmente indéfiniment; c'est là une difliculté, car la masse de l'anneau précisément égale à [xp, serait négligeable ; mais cette difficulté disparaît d'ellemême si on suppose les satellites répartis non sur une circonlérence, mais dans un certain volume.

Si les racines de l'équation en A' sont négatives, on pourra poser

^., = Ae'-'= Ae'"',

n étant une quantité réelle, et en prenant

on aura

On aura une solution particulière si à ;„ 7,., on ajoute les solutions,

et on aura alors une solution particulière pour les p/, en posant

p;.=AQeM"*-^'^ + -^'.");

à cette solution on peut ajouter la solution imaginaire conjuguée; on obtiendra ainsi des solutions de la forme

p/. :=: A„ cos [n / + 'i + a/i-y')) , ' c-/,=r Bq cos {lit + 'j + 2/iyf)).

Si on suppose un système d'axes entraînés constamment avec le satellite M;, dans son mouvement non troublé, et tel que l'un d'eux

DISCUSSIOy DES KQLArioys 201

coïncide avec le rayon OM,,, p/. cl cJ/, seront les coordonnées du satellite, par rapport ii ces axes, et on voit que le satellite décrit j)ar rapport ii eux une petite ellipse.

On passe de la ti';i)t'cloire d'un satellite à celle du suivant en cliant'eant /■ en /. + i ; le second satellite est donc en retard suile pieinier, et ainsi de suite; il v a ce que l'on appelle un déc;ilane éoal \\ -^]. Si /r'O est un multiple de :>.- le satellite de ranii" /•-|-i sera dans la même position que le premier satellite; celui du rang k -{- '>■ dans la même position que le second et ainsi de suite.

Le mouvement sera comme s'il se transmettait dini sutellite ii l'autre avec un certain relard; on peut aussi diic (|ue le mouvement se transmet comme une onde, dont la longueur serait .

Les ondes qui sont les plus danocieuses j^our la stabilité sont les ondes courtes ; les ondes qui compromettent le plus la stabilité sont donc celles qui correspondent aux grandes valeurs de y. Considérons en efï'et une valeur de n, sulïisamment grande; pour une grande valeur de y, l'onde serait très courte, deux satellites voisins pourraient se rapprocher d'une manière sensible, et leur action mutuelle ne serait plus négligeable par rapport à l'action de Saturne.

La masse totale >j.i) tloit être inlerieure a - — —; si on suppose

p= loo, on voit que la masse de l'anneau devra être inférieure à

'■ , c est un inconvénient de la théorie de Maxwell ; mais

lo ooo

c'est un inconvénient artificiel, car l'hypothèse que nous avons faite est trop simple et il faut supposer une distribution de satellites occupant un certain volume de l'espace.

La perturbation apportée au mouvement d'un satellite par l'action d un autre est de l'ordre de — ^-~ i *^" appelant o la distance

des satellites.

Si les satellites sont répartis sur une circonférence de

longueur l. on a o= : le mouvement sera stable si la per-

turbation a une valeur moindre qu'un nombre donné A. Dans

rhypolhèse de satellites répartis sur une circonférence, il faut donc que l'on ait

ou bi

Si les satellites sont répartis sur une couronne comprise entre deux cercles de distance comparable à la longueur de l'un deux, Je nombre des satellites sera comparable h. jr . S'ils sont dans un anneau de volume fini, leur nombre sera comparable à p\ la masse de l'anneau sera égale à \j.p^ et la condition de stabilité sera que l'on ait

la masse de lanncau devra donc être inférieure ii un nombre qui ne dépend pas du nombre des satellites.

Stabilité de l'anneau supposé liquide. — Nous allons maintenant, d'après ^Maxwell, examiner de plus près la stabilité du mouvement, dans le cas où l'on suppose l'anneau, soit fluide, soit composé de corpuscules indépendants. iJans cette partie du travail de Maxwell, les raisonnements ne sont pas tout à fait rigoureux, ni même très clairs, mais on doit en accepter la conclusion ; il est probable qu'un calcul rigoureux conduirait à des résultats peu différents de ceux auxquels nous arriverons.

Soient .r, //, z les coordonnées d'un point dans le mouvement normal; //, <>, o', les composantes de sa vitesse ;

les mêmes éléments dans le mouvement troublé. La force vive du système est

d-f, ~dï

~di

Of/T

STAUILITÉ DE LA^SEAl- SUPPOSÉ LIQUIDE

réiiergie polenlicllc — l' esl (-oiilo \\

/ ll:^l l±ïl

en appelant V el z le potentiel et la tlensité clans le mouvement

nonual, ^ -j- \ , z -\- z' , ce qne deviennent ces quantités dans le inouvenienl Irouhh'. ^ esl une somme de (juatrc int<'j4ialrs :

La première intégrale est une constante ne dépendant pas de ;, Y,, ^; la seconde et la troisième sont égales, comme on la vu au commencement du cours. Elles représentent la moilii- de l'énergie potentielle due à l'attraction de la matière répartie, comme dans le mouvement normal, sur l'excès de matière ([u'il v a en chaque point dans le mouvement troublé.

On peut poser en négligeant le cube de ç. y,, "1.

La somme de la seconde el de la troisième intégrale peul donc s'écrire

'V-^:-4--LV^:^-+-VrY