MASSE HOMOGÈNE FLUIDE
LA MASSE EST SANS M OC VE MENT DE ItOTAlION
Simplification des formules g-énéi^ales. — Etiulions le cas particulier d'une masse homogi-ne fluide et sans iiiouvement de rotation.
En appliquant les théorèmes généraux, on trouve que la surface libre doit être une surface équipotenlielle V = V, .
Si on prend la densité de la masse pour unité de densité, le potentiel en un point a pour expression
L énergie est
tJ T
V est continu dans tout l'espace ainsi qu'à la surface libre ; il est nul h l'infini ; à l'extérieur il n'a ni maximum ni minimum et est compris entre o et V^, ; à l'intérieur il est supérieur à \\ et a un maximum.
L'intégrale I - — d? étendue h une surface fermée enlou-
MASSE IIOMOCEXE FLUIDE
r;uvt le corps a pour valeur | AVr/-:, étendue au volume limité
par cette surface, et on a 1 Wd' = — 4~ / oth = — /^tzSL.
Ce théorème est encore vrai pour la surface limite, et il s'applique que le corps soit creux ou plein, et même si l'on a affaire ;> une distribution superficielle.
Comme enfin nous supposons le corps homogène et de den-
sité I , on a
en désignant par T son volume, et par S une surface cjui le renferme complètement, en particulier sa propre surlace.
Si on porte sur la normale en JM à la surface extérieure un segment MM' = f///^, (fig. 2), le potentiel en INI' a pour expression :
Fig. 2.
on en conclut que
On a vu que cette condition était nécessaire pour l'équilibre : ici elle est toujours remplie.
Soit Vg le potentiel de la masse fluide sur sa surface, et supposons maintenant une couche électrique de masse M, en é{|uilibre à la surface du corps, et produisant dans l'espace un potentiel V'tel que sur la surface et à son intérieur le potentiel soit V'==Vg.
A l'extérieur, on a Y' ^V. En effet, sur la surface V == V^ et à l'infini V'=^ o. Or Y' et Y sont deux fonctions satisfaisant i\ ré(piation de Laplace, ayant les mêmes valeurs sur la surface et sur une sphère de rayon très grand. Ces deux fonctions coïncident donc : c'est le principe de Dirichlet.
rUKOniE DE UAPOLSOIF
On a, d'après des lorimiles connues,
Donc la niasse ]M répandue à la surface a pour valeur T cl réciproquement si
