IM = T, Y' = Y
Le rapport -:r^ est ce que Ion appelle la capacité électri([ue
du corps.
Cette notion va nous être utile pour résoudre le problème proposé.
Théorie de Liapounoff. — Parmi les figures d'équilibre, il v a une solution évidente qui est la sphère : mais peut-il v avoir d'autres figures d'équilibre ? Nous n'en savons rien : mais si l'on se propose de chercher les figures d'équilibre stable, le problème est différent.
Le maximum absolu de W est bien atteint pour la sphère, mais a pi-iori nous ne pouvons affirmer que W n'ait pas d'autres maximums relatifs. Cela a été démontré par Liapounoff; la démonstration est assez longue et on va procéder par étapes.
L'énergie a un maximum. — Le potentiel d'un volume quelconque par rapport à un point quelconque, est inférieur au potentiel d'une sphère de même volume par rapport à son centre.
Du point ]M, comme centre, je décris la sphère - ayant le même volume que le corps S (fig. 3).
Le corps S est partagé en deux volumes : le volume K intérieur il 2l, et le volume A extérieur.
Soit B le volume de S extérieur à S.
MASSE IIOMOGÈSE FLUIDE
On a par hypollièse B = A.
Si U est le ravon de la sphère, on a
Potentiel de A < -pi—
Potentiel de B '
Fier. 3.
lï ' ~ H
D^où
Potentiel de B > Potentiel de A
Potentiel de S = Potentiel de K + Potentiel de A
Potentiel de 2C --^^ Potentiel de K -j- Potentiel de B.
Donc
Potentiel de S > Potentiel de S.
Si V est le potentiel au point M, et R le rayon de la sphère ï, on a donc
L'énergie qui est égale à
Vr^-:
est donc inférieure à
et il vient
W<ixR^T
en appelant T le volume de la niasse.
On a d'ailleurs
T = — TzR^ 3 '
d'après la définition de R.
Donc
THEORIE DE UAPOLWOir
L'énergie W due à un volume T est donc limitée supérieurement ; W a donc un maximum. Je dis que ce maximum n'est atteint que si la surface extérieure est une sphère.
Nous allons d'abord démontrer le théorème suivant :
La capacité électrostatique a un minimum. — De Ions les corps ayant même volume, la sphère est celui ([ui a la moindre capacité électrostatique. •
En effet, la formule (9) (p. 8) donne
l'intégrale étant étendue à tout l'espace.
Supposons que sur un corps conducteur de volume T il y ail une masse électrique T en équilibre. Si Y' est le potentiel correspondant, sur la surface du corps on a
