THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LE POTENTIEL NEWTONIEN

Objet du cours, — Nous allons étudier la figure d'équilibre d'une niasse Uuide animée d'un mouvement de rotation : les seules forces auxquelles est soumis le système sont des forces intérieures dues h l'attraction newtonienne : deux points s'attirent en raison directe de leurs masses et en raison inverse du carré de leur distance. Nous allons d'abord rappeler quelques résultats connus sur le potentiel newtonien.

Définition et propriétés du potentiel. — Un point de masse m, soumis à l'attraction de tout le reste du système, est soumis à une force dérivant d'un potentiel V, c'est-à-dire que les composantes, suivant les axes de coordonnées, de la force agissant sur ce point, sont les dérivées partielles d'une môme fonction

dV dV OV

— — > //* -r — j lit. -^ — • ^x ùj/ dz

Si les masses attirantes sont discontinues, le potentiel a pour expression

en appelant ;*, la distance du point de masse m au point de masse /w^.

PoiNCAUÉ. — Figures d'équilibre. i

THEOREMES GENERAUX SUR LE POTENTIEL NEWTON lEN

Si ces masses sont continues, le potentiel a pour expression

p' étant la densité de l'élément de volume d'z\ r étant sa distance *

au point /;^, et l'intégrale étant étendue à tout le volume attirant. On sait que l'intégrale a un sens.

Si la masse attirante est répandue sur une surface, avec une densité superficielle \k\ le potentiel a pour expression

ix'(h'

Enfin, si c'est un volume infiniment mince d'épaisseur s', alors et le potentiel est

Pour un volume, en dehors des masses attirantes, V est une fonction continue, ainsi que ses dérivées premières, dans tout l'espace, et on sait que l'on a

iVV cVV D-V

AV = -^-^ +-^-v- +- Tir = o-

A rintérieur, en un point de densité o, on a