AY

Les dérivées secondes sont discontinues en une surface de séparation de deux milieux diflerents.

Pour une surface, V est continue dans tout l'espace, mais ses dérivées ne le sont pas sur la surfiice elle-même. À

Sur la normale en un point A d'une surface S (fig. i), prenons

deux longueurs

AB = dn,.y AC = d/ii.

riIKOREME DE GAl'SS

Si V^ est le potentiel en A, le potentiel en B et C est

On a craillcurs v\g, ,

dV i>V

+-xr-=— 4-;^'

jjL étant la densité de la masse attirante.

Si Ton désigne par /, m, n les cosinus directeurs de la normale, supposée dirigée vers l'extérieur, par

les valeurs des dérivées partielles à l'intérieur et à l'extérieur de la surface, on a

- S-==^ (-17).+ '" (-17).+ " (if).-

Théorème de Gauss, — Gauss a démontré que, en dehors des masses attirantes, V n'a ni maximum ni minimum, puisque l'on a 4V= o.

D'une façon générale, si AV est positif ou nul, la fonction V n'a pas de maximum; si AV est négatif ou nul, il n'y a pas de minimum. Dans le cas qui nous occupe, AV est nul ou négatif: V n'a pas de minimum et n'a pas de maximum en dehors des masses agissantes.

Donc, si sur une surface fermée ne renfermant pas de masses attirantes, V est compris entre deux nombres ^ et /f, il en résulte qu'en tout point situé à l'intérieur de la surface, on aura ff<Y<h.

4 TÛEOREMES GENERAUX SUR LE POTENTIEL NEWTOMEN

Théorème de Green, — Sî U et V sont deux fonctions continues h rintéricur d'un volume T limité par une surface S, on a l'égalité

(.) / U41rf^= i UAVrf-c

I / 5U 5V dU tW OU dV \ "^ / \ dj: dx "^ dy dy "*" d; d^ j ' '

Dans celte égalité, on peut permuter U et V, et en retranchant les deux égalités obtenues, on a

(^) / (u^-^1^)^' - / (U^V-VAU)rf..

Cas particuliers de l'égalité (i) : faisons U == i.

Faisons :

(3) I ^ rf„ I AVrfT.

(4) / V -1^ rf^= / VAVrfT

ÔV\2 /dV'

Si V est une fonction satisfaisant à l'équation de Laplace, AV=o,

le second membre étant positif, le premier Test aussi.

Si U et V sont des potentiels, sur une sphère de rayon suffi-