DÉTERMINATION DE L'AXE DE ROTATION

Elle est aussi nécessaîre. En effet, si T^ — W*o n'est pas mînimum, je puis choisir T' et W de manière que

et même que

T'+T''— W<T' — Wo,

T" étant suffisamment petit.

Mais alors T'-f- ^" — W ne peut que décroître ; T'' lui, tendra vers zéro; T' et W ne pourront alors reprendre leurs valeurs primitives.

Il y a une restriction à lever. Supposons que Ton écarte le corps de sa position d'équilibre sans conserver la valeur des moments de rotation autour des axes principaux ; on sait alors que le solide équivalent aurait un mouvement où les moments, de rotation auraient des valeurs peu différentes de celles qu'ils avaient précédemment et l'on est ramené au premier cas.

L'axe de rotation est le petit axe de Vellipsoïde d'inertie, — Je vais démontrer maintenant que l'équilibre n'est stable que si l'axe de rotation est le plus petit axe de l'ellipsoïde d'inertie relatif h la masse fluide.

Soient (fig. 6) Oxyz un tricdre fixe de coordonnées ; OA,OB, OC, les axes principaux d'inertie; w la vitesse instantanée de rotation dont les composantes sont (1)^, a>2, a>3 suivant les trois axes fixes,/?, y,/' suivant les axes OA, OB, OC ; on a Fig. 6.

Soit OR l'axe instantané de rotation, J le moment d'inertie par rapport à cet axe.

36 MASSE HOMOGENE FLUIDE

On a

Soient [JLj, [i.g, [Xg, les moments de rotation par rapport aux trois axes de coordonnées. Le segment OM, dont les projections sont (l^i> \^29 l^s)» ®^* ^^^ dans l'espace (théorème des aires), et l'on a

Les projections de OM sur les axes OABC sont A/>, B^r, Cr, et l'on a encore

JJL^=Ay + By+cv^

La condition de stabilité, comme nous l'avons dit, est que T' — W soit minimum. Or, si on change l'orientation sans changer la forme du corps, W ne variera pas. Donc il faudra que T' soit minimum. OM est fixe dans l'espace.

Si on pose

On a