PP
teur OQ équipollent au segment —7 —
tend, lorsque dt tend vers zéro, vers une position limite, et ses projections sur les trois axes sont
Si on prend cet axe OH lui-même comme axe Oz
La force d'inertie due à l'accélération angulaire se réduit ii togy, — (03?, o.
Appliquons maintenant le principe de Dalembert aux déplacements virtuels que nous considérons.
Le travail de l'attraction est nul, puisque la forme du corps n'a
(jj"
pas changé. Le travail de la force centrifuge est égal à — oJ, en
posant 0)^ = wj + ^1 + ^s-
Ce travail est nul puisque J ne varie pas.
Le travail de la troisième partie est
^'3 /. m{ijlx — xZy),
Puisqu'il y a équilibre, il doit être nul. Or, on peut toujours choisir un déplacement virtuel tel que
2^m{7j^j; — xhj)
ne soît pas nul; il suffît de supposer un courant autour de Oz, La somme aurait pour mesure l'aire du plan des xot/, limitée par la projection du courant sur ce plan.
STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE 3i
Il faut donc que (O3 soit nul, c'est-à-dire que Ton ait un mouvement de rotation uniforme. C. Q. F. D.
11 faut de plus que Taxe de rotation soit un des axes principaux d'Inertie ; cela résulte de l'étude du mouvement d'un corps solide.
Stabilité de l'équilibre,/— Jusqu'ici on ne s'est pas préoccupé des conditions de stabilité de l'équilibre.
Lejeune-Dirichlet a démontré que la condition nécessaire et
suffisante de la stabilité de l'équilibre est que W + J soit
maximum.
Mais il faut faire la distinction entre la stabilité temporaire et la stabilité séculaire. Lord Kelvin qui le premier a fait cette distinction, appelle stabilité séculaire celle qui a lieu même en tenant compte du frottement; tandis que la stabilité temporaire, qui subsiste quand on ne tient pas compte du frottement, ne subsiste plus si on en tient compte. Lord Kelvin a démontré que :
La condition nécessaire et suffisante de la stabilité séculaire de l'équilibre relatif est la-condilion de Dirichlet.
Evidemment cette condition est toujours suffisante ; mais sup-
posons que W H J ne soit pas maximum, il pourra, d'après
le théorème de L. Kelvin, y avoir équilibre stable, à condition qu'il n'y ait pas de frottement. Mais s'il y a un frottement, si petit qu'il soit, l'équilibre ne sera plus stable.
On ne peut appliquer immédiatement le théorème de L. Kelvin, car il suppose que tout mouvement détermine un frottement, ce qui n'est pas le cas pour cette masse fluide : en effet, si la masse isolée dans l'espace se déplace d'un bloc, a la façon d'un corps solide, il n'y aura pas de frottement.
Solide équivalent, — Avant d'aller plus loin, il est nécessaire de définir ce que nous aj^pellerons le corps solide équivalent à la masse fluide. C'est un solide où, à l'instant considéré, les molécules ont la même position que dans le système fluide.
La vitesse de son centre de gravité" est la même que pour le fluide.
f (j/tM ^/r«^//>i»iv.O- h ' t'-h^u .•>'--.^^
32 MASSE HOMOGENE FLUIDE
Les axes principaux d'inertie ayant évidemment la même position, les trois moments de rotation autour de ces axes sont les mêmes que pour la masse fluide.
Son mouvement est donc bien défini a Tinstant considéré ; mais il faut remarquer que le solide équivalent a l'instant /, n'est pas le solide équivalent a l'instant t' ,
Théorème. — La force vive du fluide est équivalente à la force vive du solide équivalent^ augmentée de la force vive du fluide dans le mouvement relatif par rapport à des axes invariablement liés au solide équivalent.
En effet, appelons Ç, y|, J^, les composantes selon ces trois axes de la vitesse absolue de la molécule m ; Ç', tj', Ç' les composantes de la vitesse de la molécule correspondante du solide équivalent ; ^\ r/', 'Q' les composantes de la vitesse relative de cette molécule par rapport au solide équivalent. On a
Les trois forces vives considérées ont pour expression :
et il faut démontrer que
On a
CONDITION DE STABILITÉ DE LEJEUNE-DIRICllLET
Je vais démontrer que
2 /H(i'$" + fS" + Ç'C') = O.
Cette expression représente le travail d'un système de force S", lel que la force agissant sur la molécule m ait pour composantes ^ mW /wr/', mQ'j mais ce système est la différence de deux autres S.\ç^ O et S', dont les forces sont ni^y m'r\y mX^^ et /wi', mr/, mXl ; ces deux ^->À systèmes de forces sont équivalents. La résultante générale est la v:^ '-^, même et les moments résultants des deux systèmes sont les . "^ mêmes par rapport aux trois axes, par la définition même du Vs^^ '^ solide équivalent. ^ ^ '*
On a en effet T $i
puisque la vitesse du centre de gravité du solide équivalent est la ^ même que celle de la masse fluide.
De même on a
puisque les moments de rotation sont les mêmes autour des trois axes de coordonnées. Donc S = S' et S'' est nul; son travail Test aussi.
Par suite
^m(ir+Vr/' + C^")=o.
Condition de stabilité de Lejeune-Diricblet. — Revenons maintenant a notre masse fluide.
On a Tégalité
D'où
Cette égalité suppose qu'il n'y a pas de frottement : autrement T'-f-T'^ — W ira constamment en diminuant.
PoiNCABÉ. — Figures d'équilibre. 3
34 MASSE HOMOGÈyE FLUIDE
Si on pose
—7- est nul s'il n'y a pas de frottement.
Mais alors c'est qu'il n'y a pas de mouvement relatif, et par suite T'' = o.
Si T">o, ^<o.
Dans ce mouvement de rotation le théorème des aires s'applique, et on peut considérer comme des données les trois moments de rotation.
Je vais démontrer que la condition nécessaire et suffisante de stabilité est que T' — W soit minimum.
Pour une position d'équilibre relatif, on aura
W = Wo
Si l'on part de cette position d'équilibre, et que l'on fasse varier très peu les éléments des mouvements des molécules, mais de façon que les moments de rotation ne soient pas altérés (c'est une restriction sur laquelle nous reviendrons), la masse fluide ne s'écartera pas beaucoup de la position d'équilibre.
En effet, soient T' et W, les valeurs de la force vive et de l'énergie, on a
On a fl fortiori
T-fT'' — W = e est d'ailleurs voisin de T^— W^.
Cette quantité ne peut jamais croître, donc elle restera toujours voisine de Tq — Wq.
Les valeurs des variables ne différeront que très peu de leurs valeurs pour T^ et Wo, donc il y a équilibre stable : la condition est suffisante.
