MM' I

Donc les coefficients du développement sont inférieurs ou égaux h l'unité.

On peut donc écrire

IM' Zj " '

MM' A„ étant une fonction de (x, de », de a' et de o'.

Développement en série du potentiel d'une couche spbéroïdale. — Le potentiel V sera alors égal à

2,'-" / A„eW«r.

PoiNCARÉ. — Figures d'équilibre.

5o FONCTIONS SPHÉRIQUES

Les termes de V sont moindres que /•" I e'rfo". L'erreur commise quand on prend pour V la somme des n premiers termes, est moindre que

La série sera donc convergente si r<i.

^--^ peut être développé suivant les puissances croissantes des variables x^ y, z,

mM

y/(y ^)^+ (y yf + (^/ zf

^x^yz'^ I

Kipq ^ài!

et, si on revient aux coordonnées polaires, on aura un développement suivant les puissances de /•".

Si j'appelle V„ l'ensemble des termes de degré n dans V, j'aurai

Or V satisfait a l'équation de Laplace : on a donc

AVo + AV, + ... + AVn + ...=o.

Cela exige que chacun des polynômes V„ soit un polynôme sphérique; et, si on remplace dans V„, x^ y, z^ en fonction de r,[jL et çp, on aura un résultat de la forme /•" Y^j où Y„ est une fonction sphérique. On a donc

Cette formule est valable si r est plus petit que i. Supposons maintenant r supérieur à i, et considérons le point M^ image du point M, tel que OM^ X OM =: i (fig. 8} ;

DEVELOPPEMEST ES SÉRIE DU POTESTIEL

DI

j'ai OM = i\ OM^ =— - . Si M' est un point de la sphère, on a les égalités

MM' OM OM' v^OMxOM'

M'M, OM' OM. -^ÔM^OM Or le potentiel en Mj est

/ t'dit / t'dt