V. = Vr, dV

r dV ,,n dr

ÔV d/-

52 FONCTIONS SPIJÉBIQL'ES

On a donc lorsque /• tend vers i

Dans les mêmes conditions, puisque -^r — ■ est fini, on ii

11 m -^:^ — ^,r — /•') = o; Or ^ '

enfin

lim V (i — /•^)^o.

Si on ajoute ces quatre égalités, on voit que l'on a

Posons

liml s/*-— — t-V l=47^£.

Or

Si r est inférieur a i, 4> peut se représenter par une série de la forme

<ï> est donc une fonction satisfaisant îi l'équation de Laplace, puisque c'est une somme de polynômes sphériques.

Si r tend vers i, ^ tend vers ^ize. Si on démontre que ce développement est encore valable pour /*== i, on arrive au théorème de Laplace :

Théorème. — Une fonction quelconque de deux variables est développable en une somme de fonctions sphériques.

Potentiel en un point de la couche sphèroïdale. — Soit e la fonction donnée sur une sphère de rayon i.