POTENTIEL EN UN POINT DE LA COUCHE SPIIEROIDALE

Elle définit a Tintérieur de la sphère un potentiel V, prenant sur la sphère la valeur ^tzz.

Ce potentiel est développable en une série entière

Jfl

convergente si r est inférieur à i ; et, si on regarde r comme une variable complexe, cette série définit une fonction ^ convergente h l'intérieur du cercle de rayon i, et qui sera obtenue en faisant dans V, r^pe*?.

Dans V, faisons r = e*»; on a une fonction 4>' définie sur le cercle de rayon i, sauf peut-être en un certain nombre de points singuliers. Si la série (i) converge pour p = i, elle représentera 4>' d'après le théorème d'Abel.

Je dis qu'il en est ainsi dans le cas où ^' est développable en série de Fourier,

Nous avons alors

Je dis que Ton a

A;,=tAn . B,; = o.

En effet, d'après le théorème de Gauchy, la suite des valeurs ^' définit à l'intérieur du cercle de rayon i une fonction qui n'est autre que la fonction V (p^*-).

Cette fonction est développable suivant la série (i), et on a d'autre part

les deux intégrales étant prises le long du cercle de rayon i . Mais la première intégrale se réduit à A',», la seconde à B'„. On a donc

Donc, si ^' est développable en série de Fourier, la série sera encore convergente pour'r=;e'? et en particulier pour r= i*