CHAPITRE Vr

Coordonnées elliptiques, — Considérons les qiiadrlqueshomofocales

Par un point de l'espace passent trois de ces surfaces : en efTet, x^ y^ z étant donnés, on a pour déterminer X^ une équation du troisième degré dont les trois racines sont séparées par les nombres a^, i^, c^.

Il en résulte que Tune des racines, la plus grande, supérieure il a^y correspond h un ellipsoïde; la racine moyenne, comprise entre a^ etb^, définit un hyperboloïde à une nappe; la troisième, comprise entre b'^ et c^, définit un hyperboloïde à deux nappes.

Soit p2, [JI.2, V" ces racines, on a donc

Réciproquement si p, «jl, v sont donnés, on a trois surfaces se coupant en huit points, placés symétriquement par rapport aux divers plans de coordonnées.

Si on ne considère que les points situés dans un trièdre trirectangle donné, les trois nombres p, a, v définissent un point et un seul.

On peut écrire

PoiKCARÉ. — Figures d'équilibre. 8

Si on multiplie par X^ — a^, et qu'on fasse ensuite \^ = a\

on a

on obtiendra donc

V la' — b^] id' — c^)

et de même pour 3/ et ^,

Le signe qu'il faut prendre devant le radical correspond au trièdre des coordonnées que l'on considère.

Soitfix) un polynôme, et posons

RMN sera un polynôme symétrique des trois quantités p^, [x^, v"^ raciïies de Téquation

et par suite une fonction entière de o:^, y^, z^. Si on pose

R = /-(P^)V/P"=^^ OU bien

OU encore

ELEMENT LINEAIRE EN COORDONNEES ELLIPTIQUES 1 1 5

et que Ton prenne pour M et N les mûmes fonctions de [jl et de V, RMN sera un polynôme en x'^^ y^,^^, multiplié par ^, par^r?/ ou par xyz.

Supposons que R soit un polynôme entier en p* ; on peut le décomposer en facteurs du premier degré et écrire

R=n(p«-Aî).

Alors

RMN = n (p= — >.f) [y>? — ÀJ) (v^ — Xî)

RMN sera donc, dans tous les cas possibles, un produit de facteurs de la forme (i) multiplié par un certain nombre de quantités x^ y, z.

Élément linéaire en coordonnées elliptiques, — Les surfaces p =C*% [jL=C^*^, V = C*® forment un système triple orthogonal et l'élément linéaire peut s'écrire :

ds' = oî'dp^ + p^diL" + rdy\

a, [3, y étant des fonctions de p, j^., v que nous allons déterminer; on a

ds^ = dx^ + dy^ + dz\

dx pdp 1 ^du.

X p^ — cr [x^ — a^

dy pdp iKd[x

dz pdp 1 [JL<f[JL

z p2 c' ' [Ji-^ c'

On a donc

rf.«+rf,'+^.^=pvp^[^^+^.^,+^^]

^ "' |(v-i rt^j^ ^(«/•î—/.^)^ ^(vi—c-^j^J

et ensuite

Je vais poser

A* et C^ sont positifs, B^ est négatif; donc A et C sont réels, B est purement imaginaire.

Avec ces notations on a

Bv/v^— p» '

cv/p^-i.' '

yv^ — p'est purement imaginaire, donc fi est réel.

Equation de Laplace. — Voyons ce que devient Téquation de Laplace en coordonnées elliptiques. Nous avons déjà établi (p. 4^)j que si on désigne l'élément linéaire par

ds^ = aVp2 + p'di»} + fdy\ on a

L'équation AV = o devient donc :

On a

El = ^ v/__J^lziz!__

a BC V (v'^ — p^) (?'•■ — [A-^)

Av/:~r(a^-v^),

BC et Téquation de Laplacc est alors :

A seul dépend de p. Ou a donc

en multipliant par ABC on obtient l'équation

Les coefficîents de cette équation sont réels, car A^, B^, C^ sont réels, et par suite leurs dérivées le sont aussi.

Fonctions de Lamé. — Parmi les solutions de l'équation de Laplace, il y a des polynômes de la forme RMN : on les appelle fonctions de Lamé.

Remarquons d'abord que nous avons les identités évidentes :

Il en résulte que l'équation (2) est équivalente à la suivante

ii8 FONCTIONS DE LAMÉ

Supposons que l'on ait V= RMN et que R satisfasse h l'équation

M et N satisferont à des équations analogues, et la fonction V satisfera à l'équation de Laplace. Cette condition suffisante est aussi nécessaire, c'est-a-dîre que si V est de la forme RMN et satisfait a l'équation de Laplace, R satisfait à l'équation (3), et par suite M et N satisfont aux équations analogues obtenues en remplaçant p par ijL et v, et A par B et C.

En effet si on fait ul=v l'équation doit être encore vérifiée ; R se réduit a M en ce cas, et l'équation se réduit à

B' -j-j- + B -3 3 h HuL^M + KM = o.

Existe-t-il de telles fonctions ? Considérons la fonction p [u) définie par l'équation différentielle

p'u = 2 ^{pu—e,){pu — e,) [pu — e^),

ou

Posons

on en conclut

^1 +^2 + ^3= op2 =pu-{-h,

On a donc

= 2Ap.

On a d'ailleur§

, du

donc

FONCTIOyS DE LAMÉ 119

du

et par suite

, dR dR dp dR

L'équation

devient

rfp dp du du

^'?- + (II?^+K)R = o.

du'

Peut-on choisir H et K de manière que R soit un polynôme en p, ou un tel polynôme multiplié soit par y/p^ — a^, soit par

y/p2 — ^2^ g^Ji- pj^j. y/p2 — c2p

Ce polynôme, si on y remplace p^ par p (w), sera une fonction doublement périodique admettant les deux périodes de p[u) 2(0^ et atOg. Elle admettra une double infinité de pôles qui seront les pôles de p (?/), c'est-à-dire u = 2/^0)^ + 2 nd),^^ m et n étant des entiers positifs, négatifs ou nuls. Ces pôles qui sont des pôles doubles de/? (m) seront pour le polynôme des pôles d'ordre 2/2.

De plus y/p^ — a^ ^ \J pu — e^, est une fonction doublement périodique admettant les périodes 2C0j et 4w^ et ayant comme pôles simples les pôles de p (?/);[donc si on ajoute a u la valeur 20)^, 2C0j ou 20)3, la fonction R garde sa valeur ou change de signe suivant qu'elle contient o ou 2 radicaux, ou bien qu'elle est le produit d'un polynôme par i ou 3 radicaux.

Donc R est une fonction paire, ou une fonction impaire, mais dans un cas comme dans l'autre on doit avoir le développement

si on porte cette valeur dans l'équation, en se rappelant que

I20 J'OXCTIONS DE LAMÉ

on obtient l'équation :

Pour que cette équation soit vérifiée il faut d'abord que le terme en ^ „ disparaisse, ce qui n'est possible que si Ton a

II = — n [n -\- i).

On a d'ailleurs si q est le degré de R, et qu'il faille lui ajouter p radicaux, [p = i, 2 ou 3) :

Formation des fonctions de Lamé. — Ainsi donc les polyf j, nomesj de Lamé, doivent s'ils existent satisfaire aux conditions suivantes.

Regardés comme fonctions de ^, y, z ce sont des produits de facteurs quadratiques multipliés par un ou plusieurs des facteurs .r , ?/, z. Si on remplace jF5 2^,js par leur valeur en fonction de p^,[jL^, v^,on obtient une fonction de la forme RMN, où R désigne, soit un polynôme en 0^, soit un tel polynôme multiplié par 1,2 ou 3 des radicaux

et M, N désignent les mêmes fonctions ou p est remplacé par [jl et V.

On a pour Q huit formes possibles, à chacune desquelles cor- (. respond une forme pour R. Si n est le degré de V le degré de R en p^ sera suivant le cas

, ou

suivant que R contiendra o, i, 2 ou 3 radicaux.

Enfin si dans R on remplace p^par pu^ on obtient une fonction qui, lorsqu'on remplace u par a + 20)^, change son signe ou reste