DETERMINATION DE K
invariable, suivant qu'il y a un nombre impair ou pair des deux
radicaux y/p^ — ^^ety/p"^ — c", car \^pn — e^ ne change pas de signe pour w + 20)^.
De même quand on augmente u de 2(ù.^,\/pu — e^et\/pn — e^ changent de signe et par suite R changera de signe ou non, suivant qu'il contiendra un nombre impair ou pair de ces radicaux.
Ces résultats sont résumés dans le tableau suivant, oii la première colonne contient la forme de Q, la seconde la forme correspondante de R, la troisième le degré du polynôme qui entre dans R en fonction du degré de Q, la quatrième et la cinquième indiquant si la fonction change désigne pour l'adjonction à udes périodes 2(0^ et aco^; Q^ désigne uniquement un produit de facteurs quadratiques.
R ne contient pas do radical Rconticnt y P"^ — a*
Détermination de K. — Ceci posé, cherchons à déterminer K. Pour les fonctions du premier genre, R est un polynôme
d'ordre contenant 1- i coefficients homogènes.
Substituons dans l'équation différentielle, nous avons un poly-
nome de degré
I, qui devra être identiquement nul. Le
coefficient du terme de degré le plus élevé disparaît de lui-même h cause de l'hypothèse II = — n (/i+ i). Il reste alors —
coefficients à faire disparaître.
Les 1- I coefficients du polynôme doivent donc satisfaire
il 1- I équations linéaires et homogènes, dont les coefficients
dépendent linéairement de K; l'élimination des coefficients du polynôme donnera donc pour K une équation de degré h i .
Yl -1- I
Si R est du second type, on aura h déterminer coeffi-
cients d'un polynôme de degré •• Le degré de l'équation
en K sera donc, d'après un raisonnement analogue au précédent,
Pour ceux du troisième, l'équation en K sera de degré — .
n — Pour ceux du quatrième, l'équation en K sera de degré -
Ces résultats figurent dans la sixième colonne du tableau précédent.
Il résulte de ceci qu'à chacune des racines des équations en K ainsi obtenues correspond un polynôme et un seul.
Si n est pair, il n'y a de polynômes que de première et de troisième espèce ; leur nombre est
Si n est impair il n'y a de polynôme que de seconde et quatrième espèce ; leur nombre total
Donc il y a au plus in-\-\ polynômes de Lamé. Je dis au plus, car les équations en K pourraient avoir des racines multiples ; nous verrons qu'il n'en est rien.
Analogie avec les fonctions sphériques. — Supposons que .r, t/y z soient infinis du premier ordre ; [ji et v restent essentiellement finis, mais p deviendra infini du premier ordre aussi.
L'ensemble homogène des termes de degré le plus élevé dans
ANALOGIE AVEC LES FONCTIONS SPHÉRIQUES i23
la fonction de Lamé, satisfait évidemment à l'équation de Laplace. C'est donc un polynôme sphérique que l'on peut écrire \\{x,y^z). Le terme de degré le plus élevé dans RMN en p sera ap^MN. Passons aux coordonnées polaires
X = r sin 9 cos îp, y = r sin 9 sin cp, z = /*cos9,
si p est très grand il diffère peu de r; u, v dépendront au contraire de cp et de 9.
En effet l'équation qui détermine [jl peut s'écrire
Si Xyy^z sont très grands, l'unité est négligeable; il reste une équation du second degré; [x et vies deux racines non infiniment
grandes ne dépendent que du rapport-^ et —c'est-a-dire de cp
et de 9.
On peut alors écrire
/'"Il (sin 9 cos cp, sin 9 sin (p, cos 9) = ap"MN,
et comme /• = p, on a
n (sin 9 cos cp, sin 9 sin (p, cos 9) = aMN ;
le produit MN apparaît donc comme une fonction sphérique, etllseradécomposable en un produit de facteurs quadratiques (*). M. Moutard a démontré que c'était le seul cas où un polynôme sphérique était décomposable en un produit de facteurs quadratiques et de facteurs linéaires.
MN, considérée comme fonction de 9 et de cp, est donc une fonction sphérique : il en résulte que toute fonction de [jl et v peut se mettre sous la forme d'une somme
aMN,
(♦) Voir Journal de Liouville, t. XI, 1846, p. 278.
puisque toute fonction peut se mettre sous la forme d'une somme de fonctions sphériques; mais l'analogie des fonctions sphériques et des fonctions de Lamé, va apparaître davantage quand on étudiera le cas où les surfaces homofocales sont de révolution.
Cas des ellipsoïdes de révolution. — Cela peut se présenter de deux manières différentes suivant que Ton a a = i, ou i = c.
1° Si « = 6, on a des ellipsoïdes de révolution " aplati fi quand A" est supérieur à a^ et des hyperboloïdes h deux nappes si a'^<).^<6"^. Les hyperboloïdes h une nappe se réduisent à des plans passant par Taxe Oz,
2° Si i = c, on a des ellipsoïdes de révolutions -allofrgés-autour de Ox^ pour ")} > cû. Si ar > A^ > i* on a des hyperboloïdes à une nappe, les hyperboloïdes à deux nappes se réduisant à des plans passant par Taxe Ox,
Dans ces deux cas, soit [ji, soit v ne peut servir de paramètre, on est obligé de prendre comme paramètre l'angle du plan avec un plan fixe, le plan xOz par exemple dans les deux cas. Nous avons :
x ^ {?' — a') {a^ — }JL^) (a^ — v' j ^ ù' — c' ' Si b tend vers a, u. tend aussi vers a, et l'on voit que l'on a :
X ^ a^ — yr
Si cp est l'angle du plan passant par le point [x^ y^ z) et Taxe Oz avec le plan xOz, on voit que [jl peut être considéré comme fonction de cp, et l'on a
]j} = a^ cos^cp + i^ sîn^9.
On voit que l'on a
limV ^2{^2 =sincp,
, — ces cp.
CAS DES ellipsoïdes DE REVOLUTION laS
Dans les mêmes conditions Téquatlon quî détermine v peut s'écrire en supprimant l'unité, négligeable devant x, f/ elz, *
x^ + if z^
Si on passe aux coordonnées polaires, on a
/•" sin^O
et ensuite
sm
cosO
cos^Q
Dans ce cas on peut immédiatement former les fonctions de Lamé.
Nous savons que MN est une fonction sphérique ; M ne dépend que de îp, N ne dépend que de ; MN est donc Tune des fonctions sphériques fondamentales considérées plus haut (p. 4fe).
On peut alors écrire M = cos jrf ou sin /^cp ; et pour Non prendra
en posant ;
fj:(cosO) = fj:[v/-^]
On voit que les zéros de N se déterminent en calculant les zéros de Fj, abstraction faite des zéros ±: i. Ces zéros sont tous réels et distincts ; car, comme on le voit par le théorème de Rolle, les zéros de FJJ séparent les zéros de F^~^ On a
Donc sî p est pair, Fj ne changera pas de signe avec sin 0; au contraire sip est impair, F^„^ changera de signe avec sin 0.
Si on remplace :r, y, ^par leurs valeurs en coordonnées polaires,
Q changera de signe s'il contient Tiin des facteurs x ow y \ mais s'il n'en contient aucun, ou s'il en contient deux, il ne changera pas de signe; p sera donc impair dans le premier cas, et pair dans le second.
On voit aussi que y et sin p o changent de signe en même temps; donc si Q contient le facteur ?/, M devra être pris égal à sin/?3), sinon, M devra être pris égal a cosp'f.
De même si i^ = c^, on prendra comme coordonnées polaires
X = rcos 9,
y z=z r sin 8 cos ï),
;:; = /• sinO sin rs.
La fonction N sera sin/;'^ ou posp'f, la fonction M sera
Fi; (cos 0) .
On prendra y; impair si Q contient l'un des facteurs y ou z; p sera pair au contraire si Q ne contient aucun de ces facteurs ou s'il les contient tous deux. On prendra pour N, sin y^ ç ou cosp'f suivant que Q contient ou ne contient pas le facteur z.
Résumé, — Le résultat de cette discussion est résumé dans le tableau suivant : la première colonne contient les 8 formes possi-
Cos Cos Sin Cos Sin Cos Sin Sin
Cos
Cos
Cos
Sin
Sin
Sin
Cos
Sin
p XJO. . .
Pxj. .
Px =. . .
Px^j . .
VXzx . .
Px^j-. .
RV^p=* a'
RV^p2 b'
Rj/p2 c2
R^(p2 c2)(p2 tt2^
RV^(p*-a*;(p2-6^)
