TAN SC

RE S1 À désigne la résultante des attractions newtoniennes s’exerçant sur

une masse unité et y l’accélération, on a donc géométriquement

I d (33) Per,

Des relations (33) on déduit facilement les conséquences suivantes :

le vecteur pesanteur g est normal aux surfaces d’égale pression et 1l est dirigé du côté où la pression augmente, si dn est l’élément de normale dirigé dans ce sens-là, on a

; t'dpiir,

dn CES

ne)

où g est l'intensité de la pesanteur. Ensuite, les équations fondamentales,

30 : MA NCHAPITRE LI D, 6 TRS FE multipliées par les composantes d’un déplacement arbitraire, donnent |

. (34) sdp= gx dr + 8, dy + gd3.

De cette relation, on déduit l’équivalence des trois propositions suivantes, J'entends que si l’une est vraie, les autres le sont aussi :

IL'existe un potentiel du champ de la pesanteur; 2° Il existe un potentiel des accélérations; 3° Les couches d’égale pression coïncident avec les couches d’égale densité ; | 4° La pesanteur est normale aux surfaces d’égale densité.

Il est bien entendu que, par « surface d’égale densité », nous entendons une surface régulière sur laquelle la densité est constante, mais croît ou décroît quand on traverse la surface dans un certain sens. Cette précision, nous dispensera, aux yeux du lecteur, de revenir ici sur les subtilités du paragraphe 18. |

Nous appellerons mouvement de genre un ou barotropes, ceux pour lesquels ces propositions sont vraies, et mouvements de genre deux ou. baroclines, ceux pour lesquels elles ne sont pas vraies. Puisqu’elles sont équivalentes,on peut dire que les mouvements de genre un sont carac= térisés par l'existence d’un potentiel de la pesanteur, et les mouvements. de genre deux, par son inexistence.

Prouvons l’équivalence des propositions ci-dessus.

Montrons d’abord que la proposition 1° entraine les trois autres et. que, PAPE chacune des trois autres entraînent la proposion 1°. Cela suffira à prouver l’équivalence de sens quelconques de ces pr po

Si 1° est vrai, l’on a

Les dérivées partielles et les différentielles rates seront toujours | prises à { constant. | Les équations (32) montrent que Ü — ® est un DEL EN des accélérations, donc 2° est vraie. L’équation (34) s’écrit LUN (357 — dp = d®. ADS à FA

Un déplacement sur une surface à ® constant donne d® —0, d'où. dp — 0, la pression est constante sur les surfaces de niveau d = c. On.

peut écrire

D= dpt, p=pl®,t).

L'équation (35) devient pe 0B(p, t) e 0p La densité est constante sur les surfaces à pression constante. D'où

BNC E):

Enfin, la pesanteur, toujours normale aux surfaces d’égale pression, est normale aux surfaces d’égale densité.

Réciproquement, s’il existe un potentiel F “ie accélérations, la foncuon U — l'est un potentiel de la pesanteur.

Di. 1à proposition 3° est vraie, on peut écrire :p=— f(p,t). Formons alors l'intégrale indéfinie

dp io = | ——, (P) J(P;t) et l'équation (34) devient

dP = £, dx + g, dy + g,dz;

. mais, considérée comme fonction de x, y, z, la différentielle d® est une différentielle totale exacte et l’on a

® est bien un potentiel de la pesanteur. Enfin, si la pesanteur est normale aux surfaces d'égale densité, un déplacement sur une de ces sur- . faces donne par (34) : dp — 0, d’où p — c, et l’on retrouve la proposition 3°. L’équivalence des propositions 1°, 2°, 3° et 4° est bien établie. Ces propositions subsistent si la force X, Y, Z dérive d’un potentiel quelconque au lieu d’un potentiel newtonien.

20. Les rotations permanentes. — Considérons un fluide et un axe fixe À, puis les circonférences perpendiculaires à À et centrées sur cet axe. Ce fluide sera dit en « rotation permanente » autour de A si toutes les particules situées sur une même circonférence ont la même densité et décrivent cette courbe avec une même vitesse indépendante du temps. La vitesse angulaire pourra varier d’une circonférence à une autre. Si “OZ est l’axe de rotation et / le rayon d’une circonférence, la vitesse

Les différentes molécules qui se succèdent en un même point de l'espace ont donc même vitesse et même densité. Le mouvement est permanent au sens de la mécanique des fluides.

Cette définition est purement cinématique. L’accélération d’une particule est dirigée vers le centre du cercle trajectoire et vaut en GTA deur &?{. Ses projections sur les axes sont donc S

ONE ARS EN AD TE AO L’accélération renversée définit une force centrifuge, de composantes