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La densité, elle aussi, ne dépend donc que de la pression, ce qui se formule encore par la relation

pe CU

Les surfaces d’égale densité et d'égale pression coincident.

Nous appellerons surfaces de niveau les surfaces d’égale pression.

Ces propositions, au point de vue de la rigueur, exigent quelques remarques qui pourront être omises en première lecture.

18. Remarques. — 1° Dans un fluide homogène, toute surface sur laquelle la densité est constante n’est pas d’égale pression.

0 Dans le cas de deux fluides distincts et distants, étoile double par exemple, la densité sur la surface libre p = o du premier astre peut avoir une autre valeur que la densité sur la surface libre p — o de l’astre jumeau. Le potentuel & peut

… différer aussi. Quoique les fonctions p(x, y. 3), b(x, y, z) et o(x, y, 3) soient

28 CHAPITRE Il.

univoques, les fonctions

ne sont pas forcément univoques.

Cette remarque s'applique à l'intérieur d’un fluide d’un seul tenant. II n’est pas exclu, en effet, que les surfaces d’égale pression de connexion sphérique au voisi= nage de la surface libre tendent vers la forme d’une haltère quand p augmente; puis s’étranglent, se scindent et donnent ensuite deux familles distinctes F; et Re de surfaces emboitées tendant vers deux points différents ou deux ensembles différents de pression maximum. Dans une telle stratification, en l’absence d’équation caractéristique donnée, il n’est pas exclu que l’on ait sur une surface de F, et sur une surface de F, : pi = p2, Di :£ d, p1 5 00. Il convient donc de préciser un peu.

Les ensembles d’un seul tenant; lignes, surfaces, domaines, sur lesquels est constant, sont à p constant et réciproquement; car dp = 0 implique dd = o. Les surfaces ® — c coïncident avec les surfaces de niveau.

Les dérivées partielles de ® existent et sont continues dans toute la masse, la fonction ® est donc régulière au sens faible et les surfaces de niveau sont régulières en tous points où la pesanteur n’est pas nulle.

Envisageons maintenant une couche de niveau S telle que, d’un côté au moins,

le potentiel ® varie. Alors, en chaque point de S, le rapport . est bien déter-

RE I k ; miné et sa valeur - ne dépend que de p. De sorte que, sur une couche à p cons-

tant, o est constant. Ainsi, il est juste de dire que Ia densité est constante sur une surface de niveau.

3° Sans vouloir subtiliser à l’infini, il est utile, en particulier pour démontrer l'existence d’un plan de symétrie, d'introduire les notions suivantes qui permettent de préciser encore [es énoncés du paragraph'e précédent. |

Envisageons un fluide, tout entier à distance finie, réparti en un ou plusieurs volumes distincts et séparés.

Soient :

M, l’ensemble des points où la pression est supérieure ou égale à p; M; l’ensemble des points où la densité est supérieure ou égale à p M l’ensemble des points où le potentiel est supérieur ou égal à ®.

Ces ensembles sont emboités, c'est-à-dire que M,; fait partie de M, sie > pa Il en est de même des autres. De

Appelons : S, la frontière de M,; S, la frontière de M,;; Sœ la frontière de Mœ:

Les frontières S, et Sæ sont à pression p et à potentiel ® respectivement, cela se démontre très facilement, car les fonctions p et ® de x, y, z s nt continues:

Si la densité varie d’une manière continue les frontières S, sont à densité p, sans ambiguïté possible.

Un domaine où p est constant sera caractérisé par l’absence de frontière S, dans ce domaine.

Nous supposerons ces frontières formées d’un nombre fini de surfaccs régulières; cependant aucune supposition n’est faite sur les ensembles où la densité atteint

517 ANS RER ERER SES Lo Ne A CESR CR MR TN: He AS » KE | 44e ct % y

un maximum absolu ou relatif, ils pourront être quelconques ainsi que leur frontrère.

Ces définitions posées, voici ce que l’on peut affirmer :

Une frontière S, coïncide toujours avec une frontière S ;

Une fr ntière Sæ coïncide toujours avec une frontière S,;

Une frontièré S, coïncide toujours avec une frontière Sp;

Une frontière S, coïncide toujours avec une frontière S.

4° Tandis que le potentiel ® et la pression sont des fonctions continues, la densité pourra subir des sauts brusques sur un nombre fini de surfaces fermées intérieures à l’astre. Sur la surface libre, cette particularité se présente toujours, à moins que la densité n’y soit nulle. Sur les surfaces de saut ellesmêmes, nous conviendrons de donner à la densité sa plus grande valeur.

19. Mouvements généraux et pesanteur généralisée. — Les équations

du mouvement d’un fluide parfait dans un champ newtonien fixe ou

variable dérivant d’un potentiel U(x, y, 3, t) s’écrivent (31) non PU rpire Lane ous Bd 0€ [æ, Drop op 4 COR Ne 0z Les seconds membres ne sont autres que les composantes, suivant les

> axes fondamentaux, de la résultante g de l'attraction et de l'accélération renversée. On peut appeler ce vecteur la « pesanteur généralisée » et poser

(32) Ce fo LS a