TL

est une surface convexe, on peut affirmer une inégalité plus restrictive :

Pmoy

GW? TiOmoy- De l’équation (38) on déduit la relation suivante, valable pour tout mouvement de genre un,

far dV<4riM.

Pour l'équilibre relatif la limitation de w vient d’être reprise par diftérents auteurs (!).

23. Extension du théorème de M. Lichtenstein. — M. Lichtenstein (?) a fait connaître un théorème de la plus haute importance : une masse fluide dont toutes les particules s'attirent mutuellement suivant la loi de Newton, et qui se trouve en état d'équilibre relatif, présente un plan de symétrie droite perpendiculaire à l’axe de rotation.

Lé fluide pourra être réparti en plusieurs masses, à l’intérieur de chacune la densité sera supposée régulière au sens faible.

Les ensembles où la densité atteint un maximum absolu ou relatif peuvent être quelconques; mais les autres couches d’égale densité

seront supposées formées d’uu nombre fini de surfaces régulières au sens faible. Enfin, nous admettons que la densité ne décroît pas quand

la pression augmente.

(1) NikziBoRo, Ein Satz über die Winkelgeschwindigkeit der Gleichwichisfiguren (Mathematische Zeitschrift, B. 31, H.2 et 3, 1929). — CruDEur, Velocita angolare e schiacciamento delle figure di equilibrio dei fluidi rotanti (Coop. Tipografica Azzoguidi, Bologna, 1930).

(?) Mathematische Zeitschrift, B. 28, H. 4, 1928.

Je tiens à dire que les raisonnements mis en œuvre dans les pages suivantes sont, à peu de choses près, ceux de M. Lichtenstein, quoique les hypothèses transcrites ci-dessus soient d’une autre nature ct que nous visions le cas général des rotations barotropes. M. Plancherel a, lui aussi, donné une den titton très remarquable du théorème pour l'équilibre relatif, il nous l’a communiquée dans une lettre.

L’axe de rotation est l’axe des z et, pour simplifier, nous appellerons!

le : d’un point « la hauteur de ce point ».

La démonstration sera délicate, en voici tout d’abord le jil conducteur.

Nous envisagerons les cordes parallèles à O 3 de toutes les surfaces d’égale densité et l’ensemble des milieux de ces cordes. La borne supérieure des hauteurs de ces milieux sera appeléc'z,. Si le plan de symétrie n'existe pas, c'est que toutes les cordes ne sont pas à hauteur £,.

1° On montre alors qu’à une hauteur supérieure à £, — €, « étant fixe, la pesanteur serait dirigée vers le bas, la densité ne diminuerait pas vers le bas et, par conséquent, au-dessus de 3, — € 1l ne pourraitexister d’extrémité inférieure d’une corde. Une corde de longueur nulle, cas de tangence par exemple, à hauteur 3, serait donc impossible.

° Ensuite on prouve qu’une corde de longueur non nulle centrée à hauteur z, serait encore impossible. [l n’y aurait donc pas de corde dont le centre soit à hauteur 3,.

3° En vertu de la définition de la borne supérieure, 1l devrait alors exister une suite de cordes dont les centres tendent vers la hauteur ,. Par le principe de l’extraction des suites, on prouve que cela entraînerail l'existence d’une corde dont le centre serait à hauteur z,, ce qui nous fait retomber dans la contradiction. Il faut donc admettre que toutes les cordes ont leur centre à même hauteur, c’est-à-dire qu'il y a un plan de symétrie.

Démonstration. — Soientp, la densité la plus faible etp* la densité la plus forte. Soit enfin, M, l’ensemble des points où la densité est supérieure ou égale à p.

On démontre aisément que la frontière S, de M, est à densité p et que les ensembles M, sont fermés. Les frontières S, sont les couches d’égale

densité, Les ensembles de densité maximum M, sont caractérisés par le,

fait qu'ils ne contiennent pas d’autres M, avec p” >> p'. Considérons une parallèle à l’axe Oz de coordonnées +, y. Nous appellerons corde relative à æ, y un segment de cette parallèle dont les points font tous parue de M,, les extrémités étant sur S,; nous entendons que la corde

n’est pas prolongeable dans ces conditions, cas, par exemple, où le segment appartiendrait tout entier à une frontière S,. Il peut y avoir plusieurs cordes relatives à un même M, et sur une même parallèle, et des cordes de longueur nulle, cas de tangence par exemple.

Envisageons maintenant l’ensemble des milieux 3 de toutes les cordes relativement à toutes les valeurs de p et à toutes les parallèles æ, y.

Soit 3, la borne supérieure des hauteurs 3 des milieux des cordes. On aurait, au moins, pour une corde z < 30.

1° À hauteur 3, la pesanteur serait dirigée vers le bas. En effet, on a 9% I 0 QU to) ARR Z e 0z dz Il suffira de montrer que cette dernière dérivée serait négative à hauteur 3,. On peut écrire, en vertu des résultats du paragraphe 15,

formule (23),

OÙ i 1 qe I 1 (41) pa = (5) dx dy + f do Î (> — à) dr dy, HE r° 7° ï D 4 F r ;

où 7’ est la distance d'un point fixe quelconque à hauteur 3, à l’extrémité inférieure d'une corde de coordonnées x, y; r' la distance à l’extrémité supérieure. S'il y a plusieurs cordes sur une même parallèle, on fera une sommation préalable des parenthèses avant d'intégrer en #, y. On a toujours 3, 23 et par conséquent 727", d’où

È — — Lo.