A RER

Mais l’inégalité serait valable pour une corde au moins et par conséquent pour le voisinage de cette corde, de telle manière que les parenthèses négatives contribucraient dans l'intégrale et donneraient 9, < 0 à hauteur z,. La fonction £- étant continue dans l’espace entier, on peut même affirmer qu’elle serait encore négative jusqu’à la hauteur 3, —e, € étant un nombre positif suffisamment petit. Or, l'équation (40) montre que la pression augmenterait vers le bas à hauteur supérieure à 3, — €. La densité ne diminuerait pas vers le bas au-dessus de 3,—e sur toute parallèle à l’axe des z. Si un point d’un tel segment appartient à un M,, de ce point jusqu à la hauteur 3, — « le segment de parallèle est encore tout entier dans M,. Il n’y aurait pas de corde qui ait son extrémité inférieure au-dessus du plan 3, — €; et en particuher pas de corde nulle.

2° Si un point P, à hauteur z, est centre d’une corde P', P? de lon-

38 CHAPITRE Il.

gueur non nulle, le potentiel U ne pourrait reprendre la même valeur en P'et en P?. On aurait, en effet, par la formule (22°) du paragraphe 15,

(42°) U(P1) — U(P?) — pe fée ay f. (+) AE ' LUN ES p+ peu : ; + f de fax dy f. (= ) z:

O+- A ri l'

étant les hauteurs des extrémités d’une corde x, y; r, et r: les

S'HOCLS distances des points P' et P? à un point de cette corde. S'il y a plusieurs cordes sur une même parallèle, il faudra additionner les intégrales en z avant de sommer en x, y.

On vérifie que les intégrales en 3 ne seraient jamais positives puisque la corde P', P? serait, en moyenne, plus élevée ou à même hauteur que la corde 3’, 3”. [l y a même une intégrale négative et, encore ici, celles de son voisinage contribueront à rendre les intégrales en #, y négatives. On aurait donc

U(PH-=U(P2) oo.

Il y a là une absurdité, car le potentiel ® reprend la même valeur en P' et P? puisque ces deux points sont sur une même surface Sp; 1l en est de même du potentiel Q qui est constant sur toute la corde P, P,

et l’on a PBEPA) SO CPE TR OCPRE

Il ne saurait donc exister de corde de longueur non nulle dont le centre fût à hauteur z,.

1° et 2° En résumé il ne saurait exister de corde dont le milieu fût à hauteur 3,.

3° La définition de z,, en tant que borne supérieure, implique alors l’existence d’une suite infinie de cordes distinctes dont les centres tendent vers le plan 34. Ces centres auront un point d’accumulation P4 à distance finie, à hauteur 3,; cela en vertu du théorème de Bolzano. On peut alors extraire de la suite une nouvelle suite de cordes dont les centres P, tendent vers P,

Pi = map ny +

De cette suite, on peut extraire une nouvelle suite, telle que les extrémités inférieures des cordes tendent vers un point P'(%65,Y0,%0—A), et l’on aurait Ze. Les extrémités supérieures tendent vers le point

P2(%5, Yo, oh). Appelons de nouveau » l'indice de cette suite. Le segment P!', P? serait donc de longueur non nulle et centré dans le plan z,. Il suffira de faire voir que ce segment est bien une corde pour retomber dans la contradiction précédente et il n’y aura plus d’échappatoire.

La densité est la même en P! et P pans pl el 0" [es densités en P'\et P*. Puisque l'on a P'— HimPret

soit p, cette densité. Soient, en

? — lim P? on peut encore écrire Gi hime,, 0 —hnro,carla densité est une fonction continue. Mais ces deux dernières limites n’en forment qu'une seule. Posons maintenant p!—p? —p,. Les points P} et P? appartiennent aux frontières Sp,. Les points P' et P? sont sur des fronuères; en effet, sans cela, ils seraient dans des domaines d’homogénéité, qui ne contiennent, on le sait, aucune frontière, et les points P} et P? ne pourraient pas s en approcher. Cette frontière est S9,. Je dis maintenant que le segment P', P? est bien une corde de So,

En effet, s'il existait un point P* du segment P', P? qui ne fût pas dans M,,, il éxisterait une corde P‘, P? telle que P' < P* << P'<P?; mais cette corde aurait son centre au-dessus de 3, milieu de P', P?, Ce qui n'est pas possible. COS:

S1 la densité pouvait subir un saut Ab sur un nombre fini de surfaces régulières, la nécessité du plan de symétrie subsisterait. Mais les formules (41) et (42) contiendraient des termes en As et le raisonnement 3° devient plus délicat. Pour des raisons de simplicité, nous avons préféré admettre la régularité au sens faible de la densité dans toutes les masses

fluides.

24. Autres propriétés. — Le paragraphe précédent a montré l’existence d’un même plan de symétrie pour toutes les surfaces d’égale . densité d’une masse fluide hétérogène en rotation permanente de genre un, qui n'est soumise qu'à l'attraction newtonienne de ses particules et en l’absence de tout corps étranger. Nous savons encore que Pattraction newtonienne est différente de zéro, sauf en certains points du plan de symétrie.

M. Lichtenstein a déduit de son théorème les conséquences suivantes qui sont d’une très grande importance et s'étendent aux rotations de

genre un.

1° [lest impossible que la masse fluide se compose de plusieurs morceaux situés « au-dessus » l’un de l’autre; 1ls seraient « à côté » Les uns des autres; cela résulte de ce que toute corde est dans le plan de symétrie.

40 CHAPITRE Il.

2° La pesanteur ne pouvant s’annuler que dans le plan de symétrie,

® oU v Le | SR ailleurs on à g, — TE 7 0 les surfaces de niveau sont donc régulières, (84

sauf peut-être dans ce plan où elles pourraient admettre des arêtes, des. points coniques, etc.

3° S'il y a repos absolu, l’axe de rotation est indéternuné et il doit y avoir plan de symétrie relativement à toute direction. Il n’y a que les sphères qui puissent jouir de cette propriété.

Une masse au repos est donc composée de sphères concentriques.

La démonstration de Liapounoff était relative au cas spécial d’une figure d'équilibre stable d’une masse homogène au repos (t).

Enfin, les propositions suivantes sont immédiates :

4° Une figure étant donnée, une infinité s’en déduit en multüipliant les densités par une constante À et la vitesse angulaire par A 5° On peut aussi faire une homothétie, la densité restant la même aux points homologues.

6° Ces transformations laissent invariable l'expression, où {, est une. des dimensions de l’astre, son rayon polaire par exemple : &? L?

iM

Cette quantité est en plus sans dimension physique; c’est elle qui caractérisera la tendance de la planète à s'aplatir.

25. Extension du théorème de Stokes. — Le théorème de Stokes se formule ainsi : le potentiel à l'extérieur de l’astre est entièrement déterminé par la surface libre S, la vitesse angulaire w et la masse totale M. Symboliquement,

DÉS FES; GeMÉTELT

la lettre E rappelle qu'il s’agit de l’extérieur de l’astre. S’il existe différentes répartitions de malière qui conservent les éléments S, w, M, elles créent le même champ newtonien en dehors de S.

C'est par le principe de Dirichlet pour le problème extérieur que Poincaré et Tisserand démontrent ce théorème. Voici d’ailleurs la. remarque qui y conduit inductivement : sur la surface libre, le potentiel de la pesanteur doit être constant, soit ®, sa valeur; on à donc