EE

U=F|S;0(1), Mi E.

C’est l'extension cherchée du théorème de Stokes. Cette méthode a l’avantage de fournir en même temps l'expression (44) de cé potentiel à l'extérieur de l’astre. M. Dive a étendu ce théorème à toute rotation. permanente par une autre méthode.

26. Les moments d’inertie et les valeurs stokiennes. — Soient À, B, C les moments d'inertie du corps par rapport aux axes. Le premier ous s écrit

À = fr(2+#)aN,

et les autres s’obliennent par permutation des lettres. Supposons la masse fluide en équilibre relatif et extrayons la densité de l'équation de Poisson pour le champ de la pesanteur :

ATtp = 2w?2— A,

puis portons p dans l'expression de À. L'application de l'identité (5) de

Green donne, sans grande difficulté, PRE À fcœ — D) dV + feve+ 32) dS + ve [O2 + 32) dV.

Cette expression montre que les moments d’ineruie dépendent du champ de la pesanteur à l’intérieur de l’astre, puisque la première intégrale porte sur D, — D dans l’astre. Mais la soustraction de deux formules semblables élimine ce premier terme et 1l reste (45) ÉRUA Bd e(yi or)as + vu? f (22?) a\.

S1 les éléments de Stokes S, w, M sont connus, # est connu sur la surface libre S et la différence À — B est entièrement déterminée par ces éléments

Abe R SAN.

Si l’astre était en rotation permanente de genre un, on aurait

4rtU(A —B) = for æ?) dS + [az æ2)AQ dV

A—B=FIS,;w(7), M|.

et

Les autres moments d'inertie satisfont à des relations semblables, bien entendu.

Nous appellerons « constante stokienne » une quantité qui ne dépend que des éléments de Stokes : S,w(/), M.

Les trois différences des moments d'inertie sont des constantes stokiennes.

Revenons à l'expression (18) du potentiel à l'extérieur du corps, en coordonnées polaires R, 9, d

+ UCR, 0, Ve er Ya(0, b).

Ce potentiel ne dépend que des éléments stokiens. Les coefficients des fonctions sphériques fondamentales, en lesquelles s'exprime Y,, sont donc autant de constantes stokiennes.

Il en est ainsi notamment des coeflicients du développement (20).

27. Le point de vue de la théorie des équations aux dérivées partielles. — Nous voudrions envisager 1c1 le problème des figures d’équilibre dans ses rapports avec les problèmes classiques de Dirichlet et de Neumann. Cette analogie n’a de sens que si la frontière, 1c1 la surface

libre, est supposée connue. L'essentiel de nos remarques s’étendrait |. d’ailleurs aux rotations de genre un.

Reprenons l'équation fondamentale

(46) Dis UE 0

et faisons agir l'opérateur de Laplace A