AD = F

à l’intérieur de S et telles que l’on ait sur cette surface elle-même

À db DT Ji et 2Trs sn Je;

f1 et f> étant deux fonctions données.

Le problème des figures d'équilibre d’une masse [luide hétérogène est au point de vue des équations aux dérivées partielles un problème de Neumann-Dirichlet généralisé si l’on suppose connus les trois éléments de Stokes S, w, M qui fixent la frontière et les conditions aux limites. |

S1 la masse totale M n’est pas donnée, les conditions de Neumann et de Dirichlet s’élargissent.

En effet, la valeur constante ® de ® sur S reste arbitraire et la

LR dæ , : Er a :

dérivée normale > PAL est plus alors déterminée qu'à une charge élec- { ÿ

trique en équilibre près comme le montre l'équation (48). Remarquons que si la Terre était parfaitement fluide et si, par les

mesures de triangulation, nous connaissions exactement la forme de

la surface libre S et par les mesures de pesanteur la succession des

| Rte

valeurs £, c’est-à-dire 7 Sur cette surface, ce serait un problème de Neu- : ( &

mann-Dirichlet généralisé que l’on serait amené à résoudre pour

trouver la ou jies répartitions possibles de la matière à l’intérieur du

globe.

Dans son remarquable ouvrage Astronomy and Cosmogony ('),

(!) Cambridge University Press, 1929.

* M. Jeans énonce sans démonstration complète une proposition d’après laquelle les éléments de Stokes et l'équation caractéristique du fluide déterminent entièrement la fonction p(x, y, =). Traduite dans le lansage actuel, cette proposition revient à affirmer que s'il existe une solution du problème de Neumann-Dirichlet où les fonctions f, et f, = csont données, et où la dépendance entre F et ® est également connue, cette solution est unique. Nous verrons plus tard que la densité superficielle, qui serait connue dans ce cas par l'équation caractéristique p — (0), ferait connaître la dérivée seconde sur la surface libre. Ces conditions paraissent en effet suffisantes pour assurer l'unité de la solution et je partage à cet égard l’opinion de M. Jeans.

Ces quelques remarques suffiront, je l'espère, à montrer la parenté entre le problème des figures d'équilibre d’une masse fluide hétérogène et ceux que l’on rencontre dans le domaine classique des équations aux dérivées paruelles.

On me pardonnera d’insister sur une analogie avec les équations intégrales quoique je n’apporte pas ici de résultat positif concernant les figures d'équilibre. Peut-être les remarques suivantes suggéreront-élles à quelques mathématiciens l’idée de poursuivre des recherches dans cette direction-là.

Au point de vue des équations intégrales, la relation primitive

D = LU — Q s'écrit

(49) pif ED av = 0:

I] faut la résoudre avec la condition ® — const. surS et c’est suffisant.

En F elle s'écrit encore

à résoudre avec la même condition à la limite. |

Appliquons l'identité (5) de Green aux deux fonctions = ct® en ayant soin d’entourer le point potentié P d’une petite sphère, comme on le fait habituellement. L'identité s’écrira

d— {D (5) 470 + [av a = [DT as — f : — 48.

# ù dn r dn

Donnons-nous maintenant les conditions de Dirichlet et de Neumann et l’équation AD —F(d). L'identité précédente entraïînerait la consé-

ES re