EN SI
| | quence suivante :
i2d + JP F(D)4V =fhras- fs; Las
ute solution ‘du problème de Dirichlet-Neumann sera solution de nouvelle équalion. Si la fonction F était identiquement nulle, on aurai affaire à au lé oblème de Dirichlet et les deux conditions aux ue
{rd Se CA las
et ® ne tendrait pas vers la fonction f, quand on se rapproche de Ia frontière, du moins pas en général. Les mêmes remarques subsisteraient à l’égard de l’équation (5”) si la fonction F était une fonction connue de æ, y, z et, dans ce cas, on aurait affaire simplement à un problème de Dirichlet transformé. La masse homogène est dans cette circonstance, car F est une constante
F=—/rie +20.
Pour la masse hétérogène, l’équation (5”) est une relation intégrofonctionnelle, puisqu'il s’agit de déterminer à la fois la fonction D (x, y, 2) et la fonction F (D). Si l'équation caractérisuque du fluide est donnée, la dépendance entre F et ® est connue, il reste à déterminer ® (x, y, =) et l’équauion (5”) revêt alors la forme d’une équation intégrale en général non linéaire.
Nous avons vu que toute solution du problème de Neumann-Dirichlet est solution de (5”); mais, toute solution de l'équation intégro-fonctionnelle (5°) qui satisfait à la condition de Dirichlet est solution du problème de Neumann-Dirichlet. En effet, une solution de (5°) satisfait à l'équation Ab — F(d) et l'identité (5!) étant toujours vraie, on aurait entre les deux potentiels de surface la relation
è (5 Pere r' db Ne D —— ]. LRS noue £ La ds f\ AVR Î[- ; ) 7° qui serait satisfaite dans tout le volume V à l'exclusion de la frontière,
sur laquelle le potentiel de double couche subit une discontinuité. Et, alors, si la condition de Dirichlet ® — j, est remplie, la condition de
dŒ Neumann — /, l’est aussi, en vertu d’une remarque du paragraphe 9,
le potentiel de simple couche devant être identiquement nul.
On peut dire qu'au point de vue des équations intégr (49) et (5"), la condition de Dirichlet intervient seule. | Puisque l’on peut, dans le problème général, disposer de la Fou or “ ser il Hib en résolvant (®° mate respecter la première condition, da \ seconde s'ensuit. "e ji 4 Dans le problème des figures d'équilibre, la fonction ® n’est déter- ne.
minée qu ’à une constante près. On peut la supposer nulle sur la al
et alors l'équation intégro- -fonctionnelle
où G (P’, P”) est la fonction de Green relative à S, n’est pas sans rap port avec notre problème, puisque toute solution de cette équation serait solution de AD — F(®) avec D — 0 sur S.
Pour la recherche des figures d'équilibre voisines d’une figure dons
Ps
on pourrait songer à employer l'équation aux dérivées fonctionnelles de M. Hadamard (!) relative à la variation de la fonction de Green quand on passe d’une surface à une surface voisine. ne
M. Lichtenstein (?) a, par une méthode toute différente, introduit, : dans la recherche des Fe d'équilibre, la théorie des équations a intégrales linéaires. no DR US
(!) Hapamarp, Lecons sur le calcul des variations, p. 3u3. (2) LIGHTENSTEIN, Astronomie und Mathematik in ihrer eee p.ù 3. si et suivantes. 1 AE RENTE
28. La formule de H. Bruns. — Les trois équations fondamentales de l'hydrodynamique se résument ainsi pour toute rotation permanente de genre un :
Per = U #0; ® est le potentiel de la pesanteur, ilne dépend que de la densité o, U est le potentiel newtonien et Q le potentiel de la force centrifuge.
Faisons agir sur les deux membres de l'équation l'opérateur de Laplace A :
