EH

— $'pôle 5 w?4

Soient A le moment d'inertie de la masse par ROC à un diamètre ‘équatorial Ox et Cle moment d'inertie par rapport à l’axe polaire Oz.

Nous avons déjà montré au paragraphe 26 que la différence de ces deux moments satisfait à la relation

(83) Gri(C—A)= f (a 2) 08 +ou f(at— at) a.

Mettons en évidence une sphère de même pôle que S. Dans cette sphère, l'intégrale qui figure dans le dernier terme de la relation précédente, est nulle. Il ne subsiste qu’une intégrale étendue à la zone qui va de la . sphère précédente à la surface S ; mais cette zone est de l’ordre de «° et … le dernier terme de la formule (83) est de l’ordre de w'; nous pouvons le négliger. Il reste simplement

ee = fete) ds.

… En remplaçant £ par sa valeur (79) on trouve facilement

té fiM \ RD) Où CSA 35 u

me relation cherchée. au moment d’iné on trouve à l'équation de d'A

Cette relation intervient Le la théorie 1 précession des équ

nous la retrouverons sous une autre forme plus tard. LUS HSTE La

On voit avec quelle rapidité la formule de Bruns et la relation permettent de retrouver les résultats classiques de Clairaut et d

lembert.

41. Le desideratum formulé par Tisserand. — Quelques auteurs ont, —. depuis Laplace, développé l'inverse de la distance en série procédant suivant les polynomes de Legendre X.. Ce développement procède aussi

ü suivant les puissances des distances OP et OP' des deux points P et P’ à une origine O. Si r — PP'et si représentent l'angle POP’, on peut écrire d’une part

a: = = “ie Di ee } XA(COSY) pour OP'<OP

OP

et, d'autre part,

+20 2 ei Vi OS . OP - OP Se a (+) X,(CO0SY) péeur-OP:<"O0OP"

F Le premier développement diverge si OP' > OP, le second si D OP OP.

+ Cherchons à calculer le potentiel newtonien en un point intérieur à la matière qui constitue la planète. Le point potentiant P' devra balayer

| l’'astre tout entier, il sera à une distance OP’ de l’origine, tantôt plus …. grande, tantôt plus petite que la distance OP. Il est donc impossible de | calculer ce potentiel en faisant usage d’un seul des développements précédents, comme nous l'avons déjà remarqué au paragraphe 14. Il faudrait nc les employer tous les deux, l’un pour la matière intérieure à la sphère de rayon OP, l’autre pour la matière extérieure. Cela conduirait à d’inextricables difficultés théoriques et pratiques.

Certes, on pourrait légitimer, dans certains cas, l'emploi du développement divergent. Poisson a fait d’intéressantes remarques à ce propos et la théorie des séries divergentes, développée au début de ce siècle spécialement par M. Borel, permettrait peut-être de maitriser une partie de la difficulté. Mais 1l est préférable de satisfaire au desideratum que

Tisserand formule à la page 315 du Tome II de son «Traité de Mécanique céleste». Cet auteur demande que ces difficultés de convergence soient rigoureusement élucidées. La méthode de ce Chapitre satisfait entièrement à ce vœu. Nous creuserons une cavité à l’intérieur de la masse fluide, en remplaçant la matière enlevée par une couche de niveau étalée sur la surface de la cavité. Le point potentié pourra être supposé à l’intérieur de cette dernière et même aussi près qu’on voudra de l’orieine placée au centre de l’astre.

42. Les données du problème. — Envisageons une masse fluide hétérogène. Supposons que les différentes particules du fluide s’attirent suivant la loi de Newton, nous n’excluons pas d’ailleurs l'attraction de corps extérieurs, mais nous supposons que le fluide ait atteint un état d'équilibre relatif et tourne tout d’une pièce autour d’un axe fixe Oz avec une vitesse angulaire constante ©. On sait que les équations de l’hydrodynamique impliquent la relation suivante :

où Ü est le potentiel newtonien, Q le potentiel de la force centrifuge et D le potentiel du champ de la pesanteur; ce dernier ne doit dépendre que de la densité p à l’intérieur de l’astre.

Je supposerai que les surfaces d’égale densité sont de connexion sphérique et se réduisent à un seul point, le centre de l’astre situé sur l'axe de rotation lorsque la densité tend vers son maximum. Jointe à la condition que la densité ne décroisse pas de la surface libre au centre de l’astre, l'équation (84) représente la condition nécessaire et suffisante pour que le fluide soit en état d'équilibre relatif.

Le potentiel de la force centrifuge est Q — (a? + 7?);1lest défini dans l’espace entier, ainsi que le potentiel newtonien U; l'équation (84) définit à son tour ® dans l’espace entier. Nous appellerons S, la surface libre et les surfaces S à ® constant, surfaces de niveau; elles coïncident à l’intérieur de la masse avec les surfaces d’égale densité. Les surfaces de niveau auront encore la connexion de la sphère à l'extérieur proche de la planète. La dérivée normale de ®, prise vers l’intérieur de S, fournit, On le sait, l'intensité g de la pesanteur.

Nous ferons, comme précédemment, suivre une formule des lettres 1, S, E pour exprimer que la relation est valable à l’intérieur I de S ou a l'extérieur E de S ou sur cette surface elle-même. |

La fonction Q est analytique dans tout l’espace. La fonction U l’est à l'extérieur de l’astre. Elle est régulière au sens fort à l’intérieur de la

Me,

masse s1 la densité, comme nous le supposons, est régulière au sens faible. La fonction ® est donc régulière au sens fort dans l’astre et analyuique à l'extérieur. Elle est régulière au sens faible partout. L’équation de Poisson et l'expression de Q donnent

où c est la constante de l'attraction universelle.

43. Usage d’une identité de Green. — Revenons pour un instant à l'analyse. Soit D (P") une fonction régulière au sens fort dans un volume V limité par une surface fermée régulière et sur cette surface elle-même. Soit s la distance du point P' à un point P. Supposons en plus la fonction ® constante sur S et soit d, sa valeur.

Sr le point Pestextérieur àS, la fonction . de P’est régulière dans V et sur S. L'identité de Green (5) donne

Fes

fa aV— faasiav+ fit ne — fo-7as in

Nous employons la notation de l'intégrale simple, l’élément devolume dV ou de surface dS indique qu'il s’agit d’intégrales triples ou

doubles.

: ts - I :

La seconde intégrale est nulle, puisque — est harmonique dans V, la

dernière intégrale est égale à D, que multiplie une intégrale de Gauss nulle. Il reste simplement

= AD 4V +fiT So E.

Sc le point P est intérieur à S, il faut entourer P d’une sphère & entièrement intérieure à V et appliquer l'identité de Green au volume V'

. . £ * L r # Lie D limité par S etc. Les fonctions ® et = étant régulières sur V'+S +5,

on trouvera

[il l'ad av— [wa SAN [2 a ee) — fo z2 (as + ds) = 0, I. ' 7° D a - ; dn

La seconde intégrale est encore nulle, la première intégrale étendue à s, tendra vers zéro avec le rayon de o, et la dernière intégrale étendue à o, tendra vers la valeur ®, que multiplie l'intégrale de Gauss étendue à «. La seconde intégrale étendue à S est égale à ®, que multiplie l'inté-

GIE EMPIRE 5 Le PER re # " CA ; J x Ù bac a: E La; CONS 4 IR See

grale de Gauss. D'autre part, lorsque le rayon de g tend vers zéro, 1 première intégrale tend vers la valeur qu’elle a pour V'= V. On

obtient à la limite,

[> AP dV +fiTas- Ar (DS Dep il

Si le point P est sur la surface S, on construira de nouveau la petite sphère ç. La deuxième intégrale double étendue à S donnera — 27, et l’intégrale en s est à étendre seulement à la demi-sphère o intérieure àS, ce qui donne 2 r®,. La relation, pour la surface S, est |

f: A dV . 9 27r( Ps — Pp) — 0, Se

Mais actuellement ®,— ®,, et cette discussion se résume par les relations

; ee | 0, Fa (85 f= AD Ve +fiT se 2 in an‘ | Ar(Ps — Pp), 5. L.

Les deux formules se raccordent naturellement sur la surface S.

Si AD subit, sur une surface régulière intérieure à S, la discontinuité de première espèce signalée au paragraphe précédent, l'identité de Green n'en subsiste pas moins, comme nous l’avons vu au paragraphe 4. Les relations précédentes subsistent également. Sur la surface extérieure de la planète, la densité subit en général une discontinuité, 1l en est de même de Ad; mais, comme nous venons de le voir, cela n'empêchera pas que l’on puisse prendre la surface de niveau S à l’extérieur de l’astre, pourvu qu'elle reste fermée.

4%. La transformation fondamentale. — Le potentiel ® de la pesanteur satisfait aux conditions requises pour l'application de l’identité de Green; les surfaces de niveau sont régulières, comme nous l’avons vu, sauf peut-être dans le plan de symétrie, et les relations (85) sont valables, que la surface S soit intérieure ou extérieure à l’astre, pourvu qu’elle soit toujours fermée.

Nous avions

(86) P—=U+Q, (87) AD = — 4710 + 2w?,

et le potentiel newtonien s'exprime ainsi :

(88) U=if ea.

irons la densité o de nr. (87) et portons-la dans (88). On trouve

Remplaçons la seconde intégrale par sa valeur extraite de (85)

De one = J: nn 27 AT [A dn | Pp — Ps, S, +:

Puis remplaçons is. par sa valeur extraite de (86). On trouvera

à vu)” I 1 d® Dr, E, S, (89) ei: a\ + frs eee

Faisons plus. Décomposons le volume total V en deux parties par une surface S de niveau. Soient C la cavité intérieure à S et Z la zone comprise entre S et la surface libre S,. Si S est extérieur à l’astre, la cavité est plus grande que l’astre et la zone Z, qui devient soustractve, est remplie d’une densité nulle. |

Le potentiel peut, en tout état de cause, être décomposé en deux par-

tes relatives à Get à Z :

U= if Sedt+if red.

Faisons subir à la première intégrale seule la transformation fondamentale exposée ci-dessus. On obtient

nee : »? Ps I O0 Des 0 U=if <edt+? sdt+ ie fit r° 27 r Er r dn Phi ee

et remplaçons U par sa valeur ®, — Q, à prendre au point potentié P :

SFA USE (QE L Pr 0 D ( Pr, -E,s, D |-edrs |-ace = | de

Cette relation nous procurera une condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait équilibre relatif.

45. La condition nécessaire et suffisante. — Reprenons la relation P

sénérale précédente exprimée pour l’intérieur d’une surface de niveau,

elle-même intérieure à l’astre

| 0 LD (90) oi f Fedr+ frac f ds + Qr— Ps, I.

Il est bien entendu que p et D doivent être constantes sur S.

Jointe à la condition que la densité ne décroisse pas de la surface au centre, la relation (90) représente la condition nécessaire et sufjisante pour qu'il y ait équilibre relatif.

La condition est évidemment nécessaire, puisqu'elle est impliquée par les équations de l'équilibre, et par elles seules.

La condition est suffisante. En effet, en vertu de l’idenuté (85), on peut écrire

et la relation (90), satisfaite par une fonction régulière ®, donne | CCR ; SPARAT (91) () = f (ua) dé + érif = odL+zx(Qr—®Dp), C.

Considérons alors une nouvelle surface de niveau S', la cavité C’ et la zone Z/, correspondantes. On aura de même

| 1 4 AE À nes (92) o= f L(out—ab)aC'+ jai f Le dl'+ Ka(Qr— br), Ge = 5 )

Soustrayons membre à membre les deux équations précédentes, alors

o= f (au Ab — sie) dt", me

Z" étant la zone comprise entre S et S’, et C” la partie commune à Cet à C’. Le potentiel créé par la densité 2 w2— Ad — 4 zip est donc nul à l'intérieur de C” et cela, quelle que soit l'épaisseur de la zone Z”. A la limite, lorsque S'tend vers S, c’est un potentiel de simple couche nul à l'intérieur de C. La couche est en équilibre électrostatique, elle doit être nulle partout, puisque le potentiel est nul dans le conducteur (voir S9). On a donc, tout d’abord,