RE 1 À

Le premier membre est une fonction analytique dans la cavité.

En effet, 1l en est ainsi des trois potentiels, les deux premiers ne sont créés que par de la matière extérieure à la cavité ou sur la frontière, le troisième est celui d’une masse homogène. [ls sont tous trois analytiques dans la cavité, il en est de même de Q». Quant à ®, c’est une constante pour une même cavité, elle est indépendante du point potentié. |

Fig. 3.

Le premier membre est entièrement défini par sou développement taylorien au voisinage d’un point de la cavité, du centre par exemple. Pour que l'équation (94) soit satisfaite, il faut et il suffit que cet élément de fonction analytique soit identiquement nul au voisinage du centre, qui est intérieur, on le sait, à toutes les cavités.

Cette remarque faite, divisons la cavité en une sphère s de même pôle que S et une marge C+. Le potentiel de la masse homogène se calcule directement pour la sphère et il ne subsistera que le potentiel dû à la marge CT, L'équation (04) devient

ÿ TE CHAPITRE IV.

r désignant le rayon vecteur du point potentié P, £ le rayon de set 6 le complément de la latitude géocentrique.

Soient, enfin, R le rayon vecteur du point potentiant P'ety l’angle des deux rayons. On peut écrire

I I g Nr (96) LS r> (à) X4(cosY).

Le point P pourra être placé aussi près que l’on voudra de l’origine, tandis que le point P' balaie C+, S et Z. Le rayon R sera, pour chaque surface S, supérieur à un nombre positif. On peut supposer que l’on a, relativement à chaque surface de niveau,

Le développement (96) convergera absolument et uniformément dans la région où l’on a besoin de recourir à lui, région qui se réduit au voisinage du centre de l’astre.

Le desideratum de Tisserand est ainsi satisfait.

La condition nécessaire et suffisante s’exprimera maintenant par l’annulation des coefficients de toutes les puissances de +7 après avoir remplacé l'inverse de la distance par son développement (06) dans l’équation (95). On obtient ainsi la suite des relations en nombre infini

» I ; " ! N a) DE 2 I x (97) fines +if apart [xp de Ps — uw? 6? S1g 0,

u)? Z ; = z A:(cosb) sl 00

[e) HT Ro NOR

Ce tableau exprime, lui aussi, lacondition nécessaire et suffisante d'équilibre.

4T. Équation de Poincaré et masse totale. — Reprenons l'équation de Poisson pour le champ de la pesanteur (85) et intégrons les deux membres dans le volume V occupé par l’astre. Appliquons au premier membre la deuxième identité de Green (4), et désignons par M la masse totale. On obtient, comme nous le savons, l'équation de Poincaré :

fe US = Ar IM 20,

En subdivisant de nouveau le volume en une cavité C et une zone Z

Eté À

I ne DE ca (99) = fur ++

nous trouverions, par le même procédé, l’équation suivante

à - o dS ; Lis y NE (98) 7 J € ds +i fe di + 2 facr= im? es

que nous appellerons « équation de Poincaré transformée »., Elle peut être incorporée au tableau (97). Elle figurerait en tête, car elle correspond à la valeur 49 — — 1 ,en convenant de poser X, — 1. Elle fournira M, mais 1l convient de remarquer qu’elle ne figure pas dans la condition nécessaire et suffisante de l’équilibre relatif. Elle est cependant utile si la masse totale est supposée connue. Le tableau s'écrit maintenant

2) N D 10 i as ëM— > wi St. —=—1, Ps — w°? 12 Si gr=0,

+ X: (0050) Sid 2,

(0) LE ÉAT M ÉUe pAR PS DÉC

Le premier membre est le même que dans le tableau précédent (97).

48. Les éléments géométriques du problème. — Envisageons une surface de niveau S et soit, comme précédemment, { son rayon polaire; il servira de paramètre pour distinguer les surfaces les unes des autres. Le rayon vecteur À allant de l’origine O, centre de l’astre, à un point M de S, sera la première coordonnée polaire. L’angle du rayon avec l’axe de rotation, ou complément © de la latitude, sera la seconde coordonnée polaire, et la longitude sera la troisième. Sur la surface t: R —R(4,0, 4).

Appelons » l'angle de la normale extérieure N en M à S et du rayon

OM prolongé. Les coordonnées de M sont avec les mêmes abréviations

qu’au paragraphe 10 :

eve = Rss, SR Ch:

Les cosinus directeurs de OM sont :

Me=stet, M,=s05%, M.=ct.

Les paramètres directeurs de N sont :

ÉD DC æ) 20 D De de dou Dit

et l’on a, par une propriété connue du produit intérieur, M; N,+ My N,+ M, Ne