VIN
La pesanteur sur l'axe polaure s'exprime encore comme Ceci :
g(t)=1M(T— 92 )u ut t+ 8 X'wtrt 6)
et les variations de la pesanteur avec le complément 8 de la latitude géo-
= À , centrique sont données comme suit :
ne =i1— X(4)s520 + Y(4)s20c20, # (4)
avec ee
X(t)= Au (40— ut?) + Lot (su+ss ut— 3 ot — = y? ec),
Y(t)= ot +iqut + oreti+ uit),
Supposons données les deux constantes w et M ainsi que la déformation
de la surface libre e(i) = mn(1) 520 — n(1) 520 c26,
qui fournit S, en seconde approximation; dès ce moment, les surfaces de niveau à l'extérieur de l’astre et le champ de la pesanteur sont entièrement déterminés en vertu du théorème de Stokes. Il n'y a donc que deux constantes, par exemple m(1) et n(1) qui puissent intervenir dans les expressions de e (4, 0), g(t) et de g(t, 0) à l'extérieur de l’astre. Les constantes introduiles ici & et 7° remplacent avantageusement les deux précédentes. Quant aux constantes À et », elles ne sont pas indépendantes des précédentes.
Après la seconde approximation, la pesanteur et les surfaces de niveau ne dépendent à l'extérieur de l’astre que de deux constantes w et r, les éléments w et M étant supposés donnés.
10. Passage à la latitude géographique. — L’angle 9 représentait le complément de la latitude géocentrique. Soient 9 la latitude géographique et » l'angle de la normale à la surface de niveau dirigée vers l'extérieur avec le rayon vecteur prolongé. Ces trois angles sont hés
par à — 0 — 5 — y et la formule (100), p. 76, peut s’écrire maintenant I de(t, 8)\?
[A Re nn | ER AE ENENARES .
À / 1) c?y “Æ ( PT) )
Les fonctions c°0 et s°9 qui interviennent dans e et g étant toujours multpliées par ?, on peut, pour l'estimation de l’angle », négliger les termes en w* dans le développement de e. On trouve
c20 = s20'(1— Aw?ac?20 ( — 924024 s0 cû à :
ÿ 2W?2AS ; s20 = c20(1+ 4w?as?20").
La variation de £ avec 0 étant donnée par la formule
$ pôle
= X$s70 + Ys20 c20,
AAA, Tr
Ë CHAPIT E VIL
le passage de 9 à 0’ fournit la nouvelle in
EC 0) x Gp OV ua X) so | Ms 2:
Spôle 4 re Enfin, en comparant la pesanteur 2 à la latitude ÿ avec sa valeur sur TER
l'équateur g,, on obtient
à il
O° * 24 xs0— y s0c20%
Seq
Les coefficients æ et y sont pour {21
bete A ul D Ub+ TT EN) y = X'ot(gié— out + 5u?trhi— 01 PET :
L'importance des termes de l’ordre de w‘ n’est nullement négligeable 5 dans le cas de la Terre, comme nous le verrons au Chapitre suivant.
3 Me Pete
74. Ellipsoïde et correction. — Reprenons l'expression de La détor= mation de la couche t à la latitude géocentrique 8
Pour 0 —
cette DR en la déformation équatoriale e, ce.
DIE a
et l'équation 159) peut s’écrire
e—ers?0— n(t)s20 c20. ET =
de. que la surface 1 niveau Le Sa déformation est
: 520 — Ÿ 68 520 20. ss FEES
l’ordre de wf, La différente des deux déformations de + 0 niveau 5 et de l’ellipsoïde s s'écrit Re
(156) es — e,=— vw E (4) 520 c°0. 3 LT NSES
Elle est nulle au pôle 8 — o et à Ra? Es oi maximum pour g-
sur celui de s A une même don 0.
PR Des
LA SECONDE APPROXIMATION. 109 Un calcul simple permet d'écrire \
\ | \ BEE D ee) — Tat(e)
et l'équation du tableau (129), p. 92, relative à g — 4, se simplifie beaucoup si l’on prend E(t) pour fonction inconnue. Elle devient
(73 4E+tE — D / ACEE-2) Lta (2 a ta!) Ü
Cette équation en E fera l’objet d'une étude spéciale dans les deux paragraphes suivants. Elle joue pour la seconde approximation le même rôle que l'équation (137) pour la première et régit les variations en # de la correction à faire subir à l’ellipsoide de comparaison pour retrouver la surface réelle.
On trouvera pour tout astre,
(178) Ef)20, 2 SEULE (G)20, et pour la l'erre, (179) ÉGi£0,. E(G)20,
Ces dernières relations se traduisent ainsi, si l’on se réfère à l’équauon (176) de la correction :
a. La surface libre des océans est un ellipsoïde déprimé entre le pôle et Péquateur. Callandreau (!) l’a déja démontré par une méthode toute différente.
b. Cette dépression diminue quand on passe de la surface libre aux surfaces d’égale densité voisines.
L'intégration de l’équation en E s'effectue facilement à l'extérieur de l'astre où les fonctions a et 44’ sont données par les formules (134) et (135) et l’on trouve, p étant nul
— 340— Qui — Suit — rot".
Les relations (158) et (179) impliquent, alors, les conséquences suivantes. Pour toute planète, la constante s est liée à w par les inégalités
(:) Mémoire sur la théorie de la figure des planètes (Ann. de l’Obs. de Paris, 18S9.)
Pour la Terre, les inégalités plus resserrées suivantes ont lieu |
(181) J— qu = SU2IAPe FA ou + Enfin, si la masse est homogène, a’ est identiquement nulle et l’équauion À en E se réduit à l'équation | e | = o du paragraphe 57, pour g=4; elle n’a pas d'autre solution que Ë — o, c’est-à-dire que les figures sont des 4 ellipsoïdes. En effet, ce sont les ellipsoïdes de Maclaurin. L
Remarque. — La limitation de par les relations (180) ou (181) est très suffisante, car cette constante n intervient jamais que dans les termes
d'ordre «wi, :
12. La correction dans le cas de la Terre. -—- Il nous reste à établir les inégalités (178) et (179). Commençons par le cas de la Terre. L’équation en E s'écrit | ir A Me Re 2 : É (182) SRE pt (—2E+tE)dt+F, &.
Jo
La fonction F n’est jamais négative, en plus, elle n’est jamais croissante de la surface libre au centre, car F = ta'(2a + ta') et ses propriétés ont été reconnues aux fonctions & et £a’ par l’étude entreprise au para= ki
graphe 63. “ | à Encore ic11l est plus bref de s'exprimer comme si la variable £ était toujours supposée décroissante. C’est ce que nous ferons. a 1. Je dis que l’on a E(1)2 0. En effet, dans le cas contraire, E, <0,0on aurait pour £ —1 3 l'intégrale étant nulle, d'où 2 Dane. È
E, serait positif. Tant que E reste «positif, E diminue et le second | 2 : | 2 s - a,
membre de (182) reste positif; la fonction # reste négative et bien | pa LA " 2 : -4 déterminée. Ecrivons 1
= « il $ ch JT? E’ E[4+i=)= — QUE —2+it—<)di+F.
(é ) DJ : E
La fonction E restant négative et le second membre positif, la fonction
+ it et
D'OR S TENTE ET eu
tive; alors, E! ne peut plus s’annuler. On aurait donc
ne
PR Re (Ke Mine DE de dede
Mais e’est impossible, cela entraîne
ue
| LI L L] D L et — E augmenterait au delà de toute limite au voisinage du centre, ce qui est exclu a priori, $ 54, p. 85.
IT. Je dis que l’on a E’(1) 2 0. En effet, dans le cas contraire, E’(1) < 0, on aurait pour é =1I
AE: + rt dre d’où fEi > Fr,
E, serait positif, E croîtrait tant que E’ reste négatif, l'intégrale de l'équation en E resterait négative. Alors, E/ ne pourrait plus s’annuler, car si = o pour £, on aurait
jet eh dr,
ce qui est contradictoire, puisqu'il faudrait avoir, au contraire, E, >E,.. En résumé : la dérivée E/ ne saurait s’annuler de {= 1 à 4 — 0. Je prétends qu’il y a là encore une absurdité. En eflet, représentons par H le terme contenant l'intégrale de l'équation (182) en E. Cette dernière s'écrit
et la fonction H serait négative de t—1àt—o. Mais on peut intégrer
cette équation comme si le second membre était connu et l’on vérifie le droit d'écrire € t E = #4 f FE & dt + T4 H 4° dé.
La fonction IT étant négative de { — 1 à t— 0, on aurait
E < A Er GE.
La formule de la moyenne s'applique et donne, {, étant une valeur com-
prise entire o et é,
E Ps fe B dt <
ST
Mais F tend vers zéro avec t, E lui aussi tendrait vers zéro, au lieu
d'augmenter constamment à partir de la valeur positive E, comme il
l’eût fallu.
73. La correction pour un astre quelconque. — [La démonstration donnée au début du paragraphe précédent pour établir l'inégalité E(1)21 est valable pour tout astre; en effet, elle ne fait intervenir que le caractère positif de la fonction F. Mais la seconde démonstration prouvant E’(1)20o supposait la fonction F non croissante; valable pour la Terre, elle ne Le serait plus nécessairement pour une figure quelconque.
Afin d'entreprendre une étude approfondie de ce cas général, nous introduirons un paramètre & tel que l’on ait o < & < 4 et la fonction
qui en dépend AC GEAR.
Cette fonction ne peut rester négative de t—1 à {= 0. On aurait en effet E, => o, comme précédemment, et en plus
) EE> Hit;
E augmenterait au delà de toute limite au voisinage du centre, ce qui est exclu.
Alors, si l’on avait A(1) 0, on devrait avoir À — 0 pour une valeur #, comprise entre 1 et o. Supposons que £, soit « la plus grande valeur » de & sur cet intervalle qui annule À. On s’assure que cette plus grande valeur existerait bien. L’équation E s'écrit, en remplaçant tE par À —@E,
at É pt[(2+a)E— A] SO 4
Pour { —1, puisque À, est supposé négatif, on aurait (183) CSL) = 6.
Puis, sur l'intervalle 12 t >> t, où À est encore négatif, E => E,{-* et par.
suite
(4—a)Et+3(2 +2)E, nf. DITES D+
En mulupliant par £# et tenant compte de l'inégalité (183), on aurait encore
te DES F (184): HN DES de re ere A. D: A F;
LA SECONDE APPROXIMATION. 113 Voilà à quelle conséquence conduirait l'hypothèse (185) | 2E1+ EE Lo.
On démontrerait maintenant, sans difficulté, que la fonction F4 ne
croit jamais de la surface libre au centre de l’astre. Pour cela, nous
écrirons F — a n(2 +n) puis dériverons, enfin, pour prouver (F4*) 20, nous remplacerions tn! par sa valeur — n?— (5 + 2G)n — 2G et enfin, nous invoquerions la relation n <—G.
L'inégalité (189) est donc impossible pour & — 3. Le premier membre serait supérieur à l'unité et le second inférieur ou égal à l’unité. En définitive, la relation suivante est toujours vraie
c’est ce qu'il fallait démontrer.
Remarque. — 1° La relation (186) jointe à l'équation E,20o et à 4E,+E, —F, donne les deux limites suivantes de E, valables pour
un astre quelconque o<E1<Fi.
2° Pour avoir E < o, il faudrait que la relation (184) fût satisfaite pour une valeur £{, au moins, & étant un nombre positif et inférieur à quatre. Cela paraît peu vraisemblable. Cette remarque me conduit à affirmer sans démonstration les propositions suivantes, dont je ne fais, bien entendu, aucun usage dans ce livre :
a. Pour un astre quelconque, on à E20 de t=1àt—o;
b: On à également E/2 0 de t=1àt—o;
c. E tend vers zéro avec £.
3° L’équation en E revêt une forme d'apparence plus simple après le changement de fonction inconnue e — Et"?; elle devient
PTE (es)= — L ode+Ft.
ds
4° Une étude de l'équation en E aussi approfondie que celle que Poincaré a consacrée à l'équation de Radau, présenterait de grandes difficultés.
14. La différence des moments d'inertie. — La formule (45) du paragraphe 26 où 5 est la surface libre et V” le volume compris entre S
et une sphère de même pôle, s'écrit encore
C—A = — fat) dS + à ftet—er) di Fa TELE re DATE
OR PARU per ME ET HER D. ; ' MERE 1 Lil s
114 re CHAPITRE VII.
V' est de l’ordre de w?, le dernier terme est donc de Fordre ED". ul futé en tenir compte ucle nr Le calcul du second membre à wf près, à partir des pren de g et de e transcrites au paragraphe 69, donne la même relation qu ‘au Chapitre précédent
:G — Le
