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matiques. Quelques travaux plus récents sont mentionnés en note. En outre, une certaine indépendance a été maintenne entre les rentes parties de ce livre pour rendre sa lecture plus facile. Je uens à dire, tout particulièrement à M. G. Julia combien g est ma reconnaissance envers lui et envers la maison d'édition Ga Villars. Puisse cet ouvrage modeste n’être pas indigne de la mag collection des « Cahiers scientifiques ». à

A ATAET jui #40 NT

1. Terminologie relative à la théorie des ensembles. — Par voisinage d'un point, nous entendons l’intérieur d’une sphèré de rayon arbitraïrement petit centrée en ce point. Soit e un ensemble de points. Nous dirons qu'un point P est point d’accumulation de e, si dans son voisinage il y a des points de e, autre que lui-même au cas où il ferait partie de e. Alors, 1l y a évidemment aussi une infinité de points de e dans le voisinage de P, et en particulier une suite de points de e : P,, P;, P;,..., qui tendent vers P.

L'ensemble dérivé e! de l’ensemble e sera l’ensemble des points d’accumulation de e. Le complémentaire c(e) de e sera l’ensemble des points qui ne font pas partie de e. La frontière F(e) de e sera formée des points communs, soit à e et à c'(e), soit à e! et à c(e). Symbolique-

ment on aura Pleterec(e)#ié ele).

Dans le voisinage d’un point frontière, 1] y a au moins un point de l’ensemble et un point du complémentaire. Un ensemble sera fermé s'il contient toute sa frontière. Il sera dit ouvert s’il ne contient aucun point de sa frontière. Exemple d'ensemble ouvert : un cube faces non comprises; exemple d'ensemble fermé : un eube faces comprises. La fronuière est ici constituée par les faces.

| Un point sera dit intérieur à un ensemble s’il fait partie de l’ensemble

… sans faire partie de la frontière. Il appartient donc à l’ensemble ainsi que tout son voisinage. Un ensemble ouvert sera dit un « domaine ». Il ne contient par ce qui précède que des points intérieurs.

2. Fonctions régulières et surfaces régulières. — Dans la suite nous aurons constamment à considérer des fonctions de trois variables o(x, y, z) et les surfaces que l’on obtient en exprimant que cette fonction se réduit à une constante. Telles seront les surfaces de niveau dans le problème des figures d'équilibre. On ne verra pas d'objection à ce

que je distingue ici par deux termes différents une régularité au sens

faible et une régularité au sens fort. Je dirai qu’une fonction (x, y, 3) définie et univoque dans un domaine D est régulière au sens faible

dans D si elle est continue ainsi que ses dérivées paruelles du premier

ordre dans D. Je dirai qu’elle est régulière au sens fort si les dérivées partielles secondes sont également continues dans D. L'existence et la continuité des dérivées ne sont sas que jusqu’au premier ordre pour la régularité au sens faible et jusqu’au second ordre pour la régularité au sens fort.

Donnons-nous maintenant une surface S > par une représentation paramétrique eny'elt p,