DD EI MO) VE CU), DA EE TE PACE CA

Supposons que les fonctions +, y, z soient continues et admettent des dérivées partielles premières continues, et que, en plus, l’un: des

jacobiens D(i7), DO) Dia) Dose) MD Cu Pr) NIDruri6)

soit différent de zéro en un point M de la surface. Ce point M sera dut

un point régulier de la surface. Une portion de la surface sera dite”

régulière si elle ne contient que des points réguliers. Si, au voisinage

d’un point régulier de la surface, les fonctions x, y, z de uw et de pu

admettent des dérivées partielles secondes continues, le point en ques=« tion sera dit régulier au sens fort, et une portion de surface qui ne”

contient que des points réguliers au sens fort sera dite régulière au

sens fort.

En un point régulier, la surface admet un plan tangent et une nor

male, ces deux éléments varient d’une manière continue quand on passe …

d’un point à un autre, d’une portion régulière de surface. Si la surface est régulière au sens fort, elle admet en plus des courbures principales” qui varient aussi d’une manière continue d’un point à un autre. Il enest

de même de la courbure moyenne et de la courbure totale.

En vertu du théorème d'existence des fonctions implicites, ces pro-"« positions ont leur analogue dans le cas où la surface serait donnée par une relation de la forme F(x, y, z)= const. Si la fonction Fest régulière au sens faible et si de plus en un point l’une des dérivées partielles premières est différente de zéro, ce point est un point régulier. Au voisinage de celui-ci, le plan tangent et la normale existent et” varient d’une manière continue. Si, en plus, la fonction F est régulière

au sens fort, les courbures existent et varient également d’une manière continue. :

3. La dérivée normale. — Soit w(x, y, z) une fonction régulière dans un domaine D. Soit en plus S une surface régulière immergée dans D. Considérons un point M de la surface et la normale en ce point. Prenons un autre point P, voisin de M et situé sur la normale. Formons

le rapport FOIRE MP

puis faisons tendre P vers M, le rapport tend vers une limite que l’on

représente par do

dn et qui est la dérivée de o suivant la normale, ou simplement la dérivée

normale de ©. On précise d'ordinaire la direction choisie sur la normale et dn est compté positivement dans cette direction-là. Ecrivons

dp de dx do dy de dz

dn — 0x dr dy dn 0: dn.

Si æ, 6, y sont les cosinus directeurs de la normale dans le sens de parcours choisi, on a donc encore

d? do 9? à , 09.

Pour les surfaces fermées que nous aurons à considérer plus tard, 1l est utile de faire la convention suivante : désignons par dn, et dns les éléments de normales dirigés vers l’intérieur I et vers l'extérieur E de la surface. Les deux éléments seront comptés tous deux positivement quoique dirigés en sens inverse. Alors, on a évidemment

y | ir d? do

nr nr

La dérivée normale varie d’une manière continue quand le point M se déplace sur la surface comme le montre la formule (1), puisque, dans le

… cas envisagé, les dérivées partielles de o et les cosinus directeurs &, B, y

varient d’une manière continue.

4. Les identités de Green. — Formons, avec une fonction 9 régulière

ca au sens EE l'expression TANT

GE ne: HU

Cette somme s'appelle le « laplacien » de 0. Elle s sera ra représen 3 Ne symbole Ag; AU est Hise définie et continue dans ! toute sai

faible et ÉRN ee qui peut avoir 1 connexité de la it ou en tore, et X, Y, Z trois fonctions régulières au sens faible dans le volun intérieur à Z ainsi que sur cette surface elle- même ; C 'est-à-dire l’ensemble V + X. | La première identité de Green s'écrit

DPPON OT NE ARE ne (3) A

dirigée vers V ete | | . Si les fonctions X, Y, Z sont les dérivées partielles premières fonction régulière au sens fort o, 470

la quantité entre parenthèses du premier Route de (3) de laplacien de « et celle du second membre, la dérivée normale de vers l'intérieur. La relation (3) donne lieu alors à cette deuxièm tité de Green, |

too Jen-fie = 0.

Enfin, si l’on considère deux ot régulières au sens fort :

dans le domaine D et que l’on prenne

la première identité de Green (3) donnera

de db 0 0 de dÿ bd dV AHSA Jos si “ dE ay dy — 0x 02 have On obtient, évidemment, une relation semblable en LE ar lettres 9 et Y, et une soustraction donne la troisième identité de G

(5) Jane ÿ A9) dV PA an A ae

Cette formule (5) est encore vraie si les fonctions © et Y cessent d’être régulières au sens fort sur une surface S régulière, fermée ou non, qui divise le volume V en deux régions V' et V”, pourvu que ces fonctions restent régulières au sens faible sur S. En effet, envisageons le cas où la surface S serait fermée, l’autre se traite d’une manière analogue. V! sera la région intérieure à S et V” la zone comprise entre S et Ë. L'identité (5 est valable pour chacun des deux domaines :

D ; A Poe PE D UT )dS = 0 dn Y

pour V'qui est Dre par S; et pour V” qui est limité par S et par È

f(eav— va) av + fCT ss — 9%) (AS +42) =.

Mais sur la surface S, dans la première formule, les dérivées normales doivent être prises vers V', dans la seconde vers V”, c'est-à-dire en sens inverse. En vertu de (2) ces expressions égales et de signe contraire disparaissent par addition et l’on trouve la relation (5)

La formule (5) jouera dans la suite un rôle fondamental. Elle est encore valable dans les circonstances suivantes :

1° La frontière est formée d’un nombre fini de surfaces régulières; »° Les fonctions © et Ÿ sont régulières au sens faible sur l’ensemble V + À; 3° Les dérivées secondes contenues dans les laplaciens sont continues dans un domaine V ——S, où S est un ensemble d’un nombre fimi de surfaces régulières ; 4° Les laplaciens sont bornés dans V —S.

5. Fonctions harmoniques et problème de Dirichlet. — Une fonction régulière au sens fort o(x,7, z) dans un domaine D sera dite harmonique dans D si son laplacien y est identiquement nul A9 — 0. On sait qu'une fonction harmonique dans un domaine n'a ni maximum, ni minimum dans ‘ce domaine. Sa plus grande et sa plus petite valeur seraient atteintes sur la frontière. Une fonction harmonique dans un

domaine est analytique dans ce domaine, c’est-à-dire développable en yuq : PP

série procédant suivant les puissances des trois variables x, y, z au voisinage de chaque point du domaine. Si la fonction est identiquement nulle au voisinage d’un point, elle est identiquement nulle dans tout le domaine.

Soient, maintenant, 2 une surface fermée, régulière, et f(x, y, 2) une fonction bien définie, univoque et continue sur la surface £,

10 CHAPITRE I. ; ue

Le problème intérieur de Dirichlet consiste à déterminer une fonction harmonique à l’intérieur de tout le volume V limité par À, continue sur l’ensemble V + X et qui prenne sur Z les mêmes valeurs que la fonction donnée f. Ge problème, on le démontre, admet une solution et une seule. Le problème extérieur de Dirichlet consiste à trouver une fonction harmonique à l’extérieur V de la surface 2, nulle à l'infimx, continue sur l’ensemble V+ È et prenant sur 2 les mêmes valeurs que f: Ce second problème admet également une solution et une seule.

6. Le potentiel newtonien et les potentiels de surface. — Soit.

p(æ, y, z) la densité d’une matière réparüe dans un volume V limité par une surface fermée Z. Nous supposerons que la fonction p est régulière au sens faible dans le volume V +2 (!). |

Soient, en plus, P un point quelconque de l’espace et P' un point de, . |

enfin, r leur distance. Formons l'expression U(P) = de a dY.

Cette fonction U sera le potentiel newtonien créé par la matière répartie dans le volume V. Il est défini dans tout l’espace, On démontre

que U est une fonction régulière au sens fort à l’extérieur de V et à :

l'intérieur de V. Mais les dérivées secondes subissent généralement une discontinuité quand on traverse la surface ZX. Les dérivées premières restent continues sur 2, la fonction est donc régulière au sens faible dans l’espace entier. Elle est nulle à l'infini. A l’extérieur le potentiel newtonien est harmonique, il satisfait à l'équation de Laplace AU =: À l’intérieur il satisfait à l’équation de Poisson :

AU = — 47%p.

Les dérivées partielles premières du potentiel newtonien

oÙ oÙ OU

0x ? dy ? oz ne sont autres que les composantes de l'attraction que la matière envisagée exerce au point P de coordonnées x, y, 3. Pour la clarté, nous

appellerons dans la suite P le point potenté, et P'le point potentiant Soient Z une surface fermée, régulière, et une fonction univoque et

(!) On peut se placer dans des circonstances plus générales (voir O. D. KELLO@&G, Foundation of potential theory, Springer, Berlin, 1929). :

continue sur ©. On appelle « potentiel de simple couche » l'expression

Ui(P)= f Fa.

La fonction U, est univoque et continue dans l’espace entier, elle est régulière au sens fort et harmonique à l'intérieur et à l'extérieur de Z. Ses dérivées premières subissent une discontinuité sur la surface À, qui se manifeste sur les dérivées normales de la manière suivante :

dU; dU: y — 7x 4 TO.

ne M Ste dnx dnr

Cette somme devrait être nulle, comme le voudrait l'équation (2) si le potentiel U, était régulier au sens faible sur Z. On appelle « potentiel de double couche » l’expression

j CR AE U,(P) fe ae ;

La dérivée normale est à prendre au point potentiant P' vers l’intérieur de 2. S1 à désigne l’angle de PP’ et de dn, en P',ona

U,(P) =+ fe 5e da.

Le potenuel de double couche est régulier au sens fort et harmonique à l’intérieur comme à l'extérieur de ZX; sur cette surface, 1l subit en général une discontinuité; l'intégrale de Gauss en fournit un exemple.

7. Intégrale et formule de Gauss. — Un cas particulier du potenuiel U, est celui où la densité est constante. Supposons-la égale à l’unité. Le potentiel se réduit alors à l'intégrale de Gauss

” cos d ch A:

Mais d2 cosŸ est la projection de dE sur le plan normal en P’ à la droite PP’ et l'élément sous le signe somme est l'angle solide d£ sous lequel dZ est vu de P. L'intégrale de Gauss se réduit donc à

Si le point P est à l’intérieur de '£, elle vaut 47; s’il est sur X, elle

vaut 27 ; enfin, si P est à l'extérieur, elle vaut zéro. On a donc

Les lettres |, X, E qui suivront, à l'avenir, une formule indiquent, que la relation exprimée est vraie quand le point potentié est à l'intérieur Î d’une surface fermée À, sur cette surface elle-même, ou à l'extérieur E.

La troisième identité de Green, formule (4), s'applique à un potentiel newtonien ct donne

} Wet ŒUREC LATE L'équation de Poisson donne d'autre part AU — — 4 xp et l'équation (5)

devient S AU = | = a3.

A x fe d\ = | ET d

La première intégrale est égale à la masse totale M de la portion intérieure à À de la matière qui crée le potentiel U. On a par conséquent

dni

Cette formule est encore due à Gauss.

8. Sur le potentiel créé par une masse homogène. — Nous allons montrer que le potentiel créé par une masse homogène, tout entière à distance finie, est une fonction analytique à l’intérieur de la masse.

Soient, en effet, V le volume occupé par cette matière homogène ets l'intérieur d’une sphère contenant le volume V; soit, enfin, Z la partie de la sphère extérieure à V. On a symboliquement V—s—7Z. Le potentiel créé par V est la différence des potentiels créés par la sphère entière et par la zone, la densité étant supposée être toujours la même: . Le potentiel créé par Z est harmonique et analytique dans V, le potentiel créé par s est aussi analytique dans s et en particulier dans V quoiqu'il n'y soit pas harmonique. En effet, si + désigne la distance du point potentié au centre de la sphère et tle rayon de celle-ci, ce potentiel est, par une propriété connue des sphères homogènes et des couches sphériques homogènes,

Le paramètre t est constant et l’on a T= x?+ y? + 3?. C'est une fonction analytique. La différence des deux potentiels de s et de Z est bien analytique dans le volume V considéré. Cette propriété particulière interviendra plus tard.

L'équation de Poisson permettrait de démontrer la proposition suivante, plus générale : le potentiel newtonien est analytique dans tout domaine où la densité est elle-même analytique.

9. Sur les charges électriques en équilibre. — Envisageons un potenel U, de simple couche (voir $ 6) et supposons qu'il soit constant à l’intérieur de la couche. Alors, l'équation (6) se réduit à

car On a:

La densité a en chaque point de la couche un signe constant, le même

que UÜ,. En effet, si U, était positif et la densité négative, la dérivée serait positive. Le potentiel croîtrait quand on traverse la surface vers l'extérieur ; 1l devrait avoir un maximum à l'extérieur, car 1l s’annule, comme on sait, à l'infini. Or cela est impossible puisque ce potentiel est harmonique à l'extérieur de la surface. Si U, était négatif, ce raisonnement se conduirait de la même façon. Enfin, si U, était nul, la densité serait nulle partout, sans quoi Ü, aurait soit un maximum soit un minimum à l'extérieur de la surface, ce qui est exclu.

Traduite dans le langage de l’électrostatique, cette proposition a une signification physique immédiate : une charge en équilibre à la surface d'un conducteur ne peut pas changer de signe. Elle a le signe du potentiel, et si celui-ci est nul, la charge est nulle partout.

10. Polynomes de Legendre et fonctions sphériques. — L'emploi des fonctions sphériques s’est toujours révélé très utile dans la théorie des figures d'équilibre depuis que Laplace les y a introduites.

À plusieurs reprises, nous représenterons le cosinus par la lettre c et le sinus par la lettre s, afin de condenser les formules. Ainsi c9 remplace cos0 et 50 remplace sin9.

Le ni" polynome de Legendre X,(x), où n peut prendre les valeurs V2, 3, ..., est défini par la relation ES dn(æ?—1».

RE SE Cho are

Pour x — o, on fera X,(x) — 1. Posons d'une AA plus générale

I 28 he D p RO NL REA EE Va DNS EL NX EREONM EEEN

nes (n + p)! Lot dxn+p

où p prend les valeurs entières allant de 1 à .

Cha NE UE) D ELA PT er or

Remplaçons ensuite æ par cô et formons Ÿ: 2n—+ 1 fonctions de deux angles 6 et d

(8) Xh(c0), XE(cb)ep®, XS(cb)spd.

Ce sont les 2n +1 fonctions sphériques fondamentales d'ordre n.

Toute forme linéaire Y,(0, L) des fonctions sphériques fondamens tales d'ordre À sera dite « fonction sphérique d’ordre n ». Les coeflicients des fonctions fondamentales sont des constantes, j'entends que ces quantütés sont indépendantes de 6 et de Ÿ; mais si la foncuon Y, dépend encore d’un paramètre, les coefficients pourront dépendre eux aussi de ce paramètre :

S1 L désigne la longitude et 0 le complément de la latitude d’un point situé sur une sphère, les fonctions sphériques s’interprètent comme fonctions d’un point de la sphère. Un théorème de Laplace permet d'affirmer que toute fonction univoque et continue f (6, L) sur la sphère est représentable par une série de fonctions sphériques

—+ D JS, =D Yan, v)