FL
Indiquons les expressions des trois fonctions X,, X:, X,
AG CCO YU, X,(c0) = - c20 —
3 I me 2 (9)
; 34 X;:(c0) — cie — eg e 3.
Les fonctions X, d'indice impair sont des polynomes impairs en c0. On üre des relations (9) les suivantes, utiles dans les calculs pratiques:
js 2 2 7 | SA (| ras 5 te è X:(c0), e
(10) N st0— — — SX (e0) +
20620 = © + MR te = X;(c8).
Pour incorporer une équation de Poincaré à une certaine suite de relations, il nous sera nécessaire d'introduire un polynome de Tang — 1, il sera égal à l’unité par définition X, —+1. Sa valeur, on le voit, est la même que celle de X,.
11. Propriétés intégrales des fonctions sphériques. — Les fonctions sphériques fondamentales (8) pourraient être ordonnées en une seule suite dénombrable pour toutes les valeurs de p et de n
Je ER I. ES RENE ee 13 A PES PEAU AVÉCL AUDI X Cette suite est une suite orthogonale sur la sphère unité; c’est-à-dire
que 7 et Z' représentent deux fonctions fondamentales quelconques mais différentes, prises dans celte suite, on a, sur la sphère unité,
(11) | [72 dQ — 0.
Il résulte de là que deux fonctions sphériques d'ordre différent sont également orthogonales Ë
(12) fm %n A0, Si, maintenant, ou considère les fonctions sphériques spéciales X,(c0) et que l’on tient compte de l’expression de dQ en coordonnées 8 et
| dQ = 50 dû dy, on trouve
27 2 | 0) SUNT En 4 dy | Xn(ct) XiCCU) SO 0 4x 0 0 | ANNE STE Nr.
2N +I d’où, en posant cô — x, FU 0 Si M , Arte IX ATOM — 2 À “y Re AT SL EU, DAT (ln mai |
Le polynome complémentaire X, est lui aussi orthogonal à toutes les fonctions sphériques fondamentales, sauf à X,, et l’on a
[xx HO.
Considérons, à partir de maintenant, deux points sur la sphère. . unité P : 9, L et P': 0!, d’. Soient O le centre de la sphère et y l'angle des deux rayons OP et OP".
fonction sphérique d'ordre ñ, évidemment symétrique | deux points, c’est-à-dire aux dos groupes de variable 8, d et g', donne lieu aux relations suivantes, Yn étant toujours une f sphérique d’ordrem: : F ET (es
0 oO SmMAÉR,.
4T LU UE NAS ts Ro Ÿ) SE PNLNE=NTT NS \ J ? DTA
(13) Fa LV) Xu(c y) d0 —
d'u une fonction done f; écrivons
f6, = Sy, (6, ).
en vertu des relations Gé }
(0, 4) = EE fie, d) Xutey) de.
fondamentales. Ce sont d’ailleurs les seules dont nous aurons be
Re tie Van)
avec pe on + 1 fonctions Ho de degré n. Et, en effet, ns Cor! pondance entre coordonnnées, polaires et cartésiennes
d'ÆiR SN es RSA RSTR ed. SRE
permet d'écrire PAU dis k Pa(æ, y, 3) = Re Y,(8, gp). ru
La fonction Y, est une fonction sphérique d’ordre n. À la fonction sphérique la plus générale, dépendant de 2 x + 1 coefficients, correspond
le polynome harmonique de degré n le plus général et aux 27 +1 fonc-
ons sphériques fondamentales 2 nr +1 polynomes harmoniques fondamentaux. Ces derniers sont linéairement indépendants et orthogonaux sur toute sphère centrée à l’origine.
D'après ces remarques, la résolution du problème de Dirichlet pour la sphère est presque immédiate. On prendra le rayon de la sphère comme unité de longueur, on développera la fonction donnée en une série de fonctions de Laplace
puis on formera la fonction
e =D Re YA (0, 4)
qui résout le problème. Elle est harmonique pour R 1 et prend les mêmes valeurs que f pour R — 1, c’est-à-dire sur la sphère.
Ün cas particuher interviendra plus tard : supposons que la fonction f prenne les mêmes valeurs qu’un polynome quelconque Q(x, y, z) de degré 7» sur la sphère unité. Dans ce cas, la fonction © est aussi un
RES ; Pa(r, J; =).
polynome de degré m
Dans la suite, nous aurons encore à déterminer une fonction harmonique ne dépendant que de 3 et de x?+ y?, par les valeurs qu’elle prend sur un segment de l’axe des z. Il faudra, naturellement, que cette succession de valeurs soit fournie par une fonction analytique
+ © (14) (2) + byzn.
NE
La solution, ici encore, existe et est unique. En effet, la fonction harmonique ne dépend pas de la longitude d en coordonnées polaires KR, 4, 4, elle est de la forme
— co | D an R Xn(20), n=0 :
et pour 8 — 0, on a X,(c9) —1 et R — 3 et la fonction se réduit à
Cette série devant être identique à la série (14), on a ay = bs, pou toute valeur de 72. Cette condition nécessaire est aussi suffisante, Ja solution (15) existe et est unique.
Enfin, on démontre que si o(x, y, 3) est une fonction harmonique, la fonction
est encore harmonique, en x, y, 3. Comme cas particulier, envisageons
les polynomes homogènes et harmoniques P,(x, y, z). Ils donnent lieu aux relations suivantes :
I AT à A I ï Yh(6, 4) R Pr (rer er) = rm Pre, 7, 5) = RE
qui sont autant d'expressions de ce que l’on appelle les polynomes harmoniques inverses,
13. Une question de convergence et les développements de l'inverse de la distance. —— Ecrivons l'identité, facilement vérifiable :
1—2ÀCYy+}?=(1— Xe) (1— À eV), puis formons le développement suivant les puissances de À de la puis-
I ; * ; sance — — du premier membre. On démontre que le coefficient de À
n'est autre que X,(cy)
(16) (LS NET = Xo+ À Xi(cy)+22X,.(cy) +...
D'autre part, on peut écrire
NE I Le 155 (I— À ei ) ad A PL Per AREA (17) us | R (LL NET) AE RES Re UE RACE 2 2.4
et la série (16) n’est autre que le produit des deux séries (17) ordonné suivant les puissances de 2.
Or, chaque terme des séries (17) est inférieur ou égal en valeur
| RAPPEL DE QUELQUES NOTIONS MATHÉMATIQUES. 19 absolue au même terme où l’on ferait y—o. La série produit (16) jouit de la même propriété, elle admet donc pour dominante la série (I A) =IHÀA HA +...
On a par conséquent pour 7 = 0, 1, 2,
| Xn(cy)IST,
l'égalité n'ayant heu que pour y = 0, si n => 0. La série dominante est convergente pour o <À<T 1 et uniformément convergente pour o <1<Tk<T1, Æ étant un nombre aussi voisin de l'unité que l’on voudra. La série (16) jouit des mêmes propriétés de convergence; elle diverge d’ailleurs
PounAE=t el y— 0 puisque l'on aX,(co) = 1
Maintenant, soient : O une origine, puis P et P' deux points à distance R et R’ respectivement de l’origine; y l’angle des rayons vecteurs OP et OP’; enfin, r la distance PP’.
Le théorème du cosinus donne *
rè= R?4+R°?—2RR'cy,
d'où, en mettant en évidence le rapport des rayons qui jouera le même rôle que À,
| I I R' RUN 2 ZE = Fr ON pre , : - 2
bn Pi
pcs ‘ R " AR DAT ha)
Développons ces expressions suivant les puissances du rapport des Der D
PA RRARNN Se ME
La I TNT ARINES
La première série est convergente pour R’<R, la seconde pour RTK. /
rayons
: î . R à Elles sont uniformément convergentes, la première si: <{ # <1, k étant
Dr | Et ‘h aussi voisin que l’on veut de l’unité mais fixe, la seconde si ne Het.
… Les séries divergent pour R —R' et y — 0.
… 14. Les développements en série du potentiel newtonien. — Envisageons un potentiel newtonien dû à une matière de densité p occupant
U= È Le 2 fes sRm Xe (nav, . dr } AAC
nee AN ; me) É
On sait que X,(cy) est une Con Lon sphérique d’ RO ñ par | ap ) or à 0 et d, comme par rapport à À et V/ et UE FS Abel +4 sont
En définitive, on trouvera
(8) Dr mn va, #
», 3 et les termes de la première des Di dore barmoniqus Ce sont 2 des développements us |
Fig. 1. su
développement (19) pour o£R<R; ce quiexige que R; ne soit pas nul, cest-à-dire que l’origine ne soit pas intérieure au volume V. Le premier (18) sera valable pour R > R «. En effet, les développements (18) et (19) peuvent, dans chacun de ces cas, être intégrés terme à terme.
Mais si le point potentié P est à l’intérieur de la matière, il n’est plus possible de représenter U par un seul des développements précédents; il faudrait employer les deux développements à la fois. Le premier (18) pour le domaine V' où R’<R, le second (19) pour le domaine V” où R'> KR, domaines qui varient d’ailleurs avec R.
C’est cette difficulté que le procédé uniforme exposé au Chapitre IV évitera systématiquement. |
Indiquons enfin les trois premiers termes du potentiel à l’extérieur du corps, dans le cas où ce dernier est de révolution autour de l’axe
polaire 9 — o et admet Le plan de symétrie 9 — ne En posant
BR s0cY;, RS 0 Su Poe LATE mu SUCc de VisiRis SU, Sec on trouve
GES (xx + yy'+ 23).
