APPLICATIONS AUX ROTATIONS PERMANENTES DE GENRE UN
et la condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait rotation de genre un devient
f£as+ifta-à— Q— fac.
Cette dernière doit être satisfaite quelle que soit la PoMuon du point potentié à l’intérieur de la cavité.
Les deux membres sont harmoniques dans C, comme on le vérifie facilement, 1ls sont analytiques et il suffira de nouveau d'identifier leur développement de Taylor au voisinage du centre.
Il n’y a aucune difficulté théorique nouvelle, mais 1l se présente une
difficulté pratique dans le calcul de l'intégrale
je = AQ dc.
La vitesse angulaire est supposée connue et la cavité peut être supposée sphérique. C’est le potentiel d’une sphère hétérogène qu'il s’agit de calculer, les couches d’égale densité étant cylindriques.
88. Sur une loi spéciale de variation de w. — Envisageons un cas particulier, celui où la vitesse angulaire est une expression linéaire de {?, avec deux coefficients constants et petits w° et w°
. O2(02) = 6? + wi 2,
Ce cas a été approfondi par M!e N. Danoz. Les équations deviennent
(235) ra D “ [ mac, LE FE ; pi (ue = fiac)-w1(5 +2 f£ac).
2 RUJINT Aer
La dernière intégrale du second membre de (236) représente un potentiel d'une sphère hétérogène, la densité variant comme le carré de la distance
à un diamètre. ® étant mis à part, c’est la scule expression des seconds membres dont le calcul offre de la difficulté.
Mais remarquons que toute expression de la forme TE LES AN 75 J A0 ac
est harmonique à l’intérieur de la sphère GC et si f ne dépend que de la
| vecteur 7 let de ti 9. ne tr ce e rayon. avec le ME pr ee
peut écrire
Or, cette fonction A sera entièrement ire É sur l'axe 8—0 qui correspond à !=0 6 12, p.15). Dans actuel, on a DES.
Ai Tac
el pour oo: À sé réduit au potentiel de 14 no h che d’ une densité Ê à Pas sur l'axe lEtor Le caleul
Idenufiant ce développement particulier avec le développe ral (237) pour 0 — 0, on trouve
Un en
sn EN CM RE è MP EE ne at . x . pt se |
traire l’ expression : ve mais ce n’est pas ce qui: nous intéresse [ SA
LAVE edL AE IÈT nr ee Lo ve RIT | "1 FM Lot En LE
Me DEAN Puf ut
w? X (60) + Loin x RON iQ 2)
He — 2 où X;(cû) van si CE PE
!. AUDE A MAT de Ge do One
4 au lieu du tableau (99), p age 79. Posons de nouveau R -- Cr —e), puis % = w?elt) + wa e0), D = Po + w? Pi) + w3 PR),
Identifions en &4 et w>, ainsi d’ailleurs qu’en ÿ et £.
1® L'identification des termes indépendants de w, et w, fournit la stratification sphérique et donne, comme précédemment,
At 1. ne dt. | . 7 L D Ë,
D, étant “ Notes DAPAne de la manière intérieure à la sphère de ray on ({.
1740 L'identification des termes en ©, fournit un système identique à | lu de la première approximation pour l'équilibre relatif, tableau (1 24), et l'on retrouve la déformation
eD= a(t)s?0, He
3° L'identification des termes en w, donne le système suivant :
dpi ï L5 SI g == —]1 el MODO AE ci fi À db?) 0 nie PU) + 3 dr Skg =D, LEP UOMER me dr | 4 ÿ AI mir Si 2) PE RAM À ñ 35 SE (92 paacre 44 () : SR ML E D en
‘ete l'équation à résoudre se !
out out autre coefficient qi Cle
solution que e = 0. La déformation e!? est donc
ee) Xi+ e8)X,(c0) + eP/X,; (ch).
JU t La déformation totale s'écrit enfin, en posant r = z; La
pour toute valeur de 7 et pour r21, lon a
m(r)= MT +ur 2) AS IT, »
AG A (Sr 7 mr) |
u et æ sont deux constantes stokiennes, ainsi que les suivantes :
uw)? 4% 24?
A je CALUL Anne Eu.
MEME ae iM
On a, d’ailleurs, la durée de la révolution T étant exprimée dans un système d'unité quelconque
Toote + Te équa
\ 5 Re et pote — T'éque ) iX1
Doté
Le potentiel ®, la pesanteur sur l’axe polaire et le potentiel newtomien s’écrivent à l’extérieur de l’astre :
M 2 | 8 \ D(T ) = in We sd 50 To UCR, 6) — js Ne x 0 f sua 0 ut SRE (60) + 7 aw(R) xite0)|, M.
gr) = (Au 8A2wT 6).
La constante w est, comme dans l'équilibre relatif, comprise entre ©
et
N | Co
90. Ellipsoïde tangent et correction. — L’approximauon faite est d'ordre un. On doit négliger les termes d'ordre quatre en w, etws. Alors l'ellipsoïde tangent au pôle et à l'équateur, à la surface de paramètre z;
CSL e— m{(s)s?0:
La correction rapportée au rayon polaire n’est autre que
CRT) c20S70
| APPLICATIONS AUX ROTATIONS PERMANENTES DE GENRE UN. 143 . Mettons en évidence le coefficient A»,
E(r) est, à l'extérieur de l’astre,
GA ma 7 ACTU
RCA
Pour toute valeur de +, E(r) doit satisfaire à
Or te 7 p+=e = f d(br nu 2
pe HUE
Or, cette relation est identique à celle (182) du paragraphe 72, en
SERA sort D paragraphe 72 s'applique et donne E,2 0, E 20.
. La fonction F décroît avec 7. Le raisonnement du
posant F —
On en déduit les relations À — 4 £<56w< 5.
Enfin, si l’on prenait la loi de variation des vitesses angulaires
w3 par —w3 et A, par — A2.
M" Danoz a pu conclure ainsi : Dans tout mouvement de genre un, où la vitesse angulaire est donnée par la relation suivante :
W2(/2) = @f + w3 [2 la surface libre est un ellipsoïde déprimé entre le pôle et l'équateur
si ce dernier tourne le plus vite, c’est un ellipsoide dilaté si l’équateur tourne plus lentement que les calottes polaires. Cette correction
D RS CS Se im 8. SR nee UT
… diminue de la surface libre aux surfaces d’égale densité voisines. 1 Ce résultat est relatif à la première approximation.
É. 91. Le cas du Soleil. — L'équateur solaire fait un tour en 25 jours et ;. les calottes polaires en 28 au moins; nous prendrons 28. Le rapport des À prés > I
4 deux À est donc d'environ + — 7» et nous avons d'autre part
ù, Ci uen LA
Le rapport provenant du mouvement zonal de est donc 30000 fois su pé- {
D, ns : :
SRI à
les calculs précédents restent valables, mais il faut remplacer partout
termes en Ja re puissance de Ja vitesse nt L’aplatissement m(1) est compris entre les limites suivantes | EVA RTE Sr DS 120000 — = 120000
etla correction rapportée aux rayons polaires e est à | 450 de latitude
prise entre les limites 0,28 oSA(I a RDA — 120000 # Le rayon polaire étant de 695550" environ, la différence des r o équatoriaux et PR ne dépasserait Bas 1 5 et la correction à
est inférieure à 1*",65.
Ceci soit dit, nie e faite de toute considération thermique, taches, des ne etc. ; Le Dot) à l'extérieur s at
iM VE 2 li AUS Le Rss 50 (f) XC0)+ + Ta0000 5”
d'ou les coeR cn u et æ devraient pouvoir se culeu F\ À
pers en w, Car le AT . est el RE Mercure, l'aratie
rs d'Einstein y parvient.
92. Objet du Chapitre et notations. — Le phénomène de la variation des latitudes, les marées terrestres et océaniques, la précession des équinoxes appellent une étude approfondie des mouvements d’un fluide dans un champ newtonien qui ne se réduisent pas à de simples rotations.
Dans la théorie classique du mouvement de précession, la terre est assimilée à un corps solide, et ce sont les équations d’Euler qu'on lui apphique. Mais s’il s’agit de tenir compte de la fluidité du globe et des déformations qu'il est susceptible d’éprouver, il faut prendre quelques précautions. En effet, on ne peut plus, dans ce cas, parler en toute rigueur d’un axe de rotation.
Dans le but de préparer une étude plus générale, nous envisagerons différents trièdres de référence attachés au fluide et se mouvant avee lui. Ils devront être solidaires de ce dernier s’il y a équilibre relatif, 1ls serviront à repérer les déformations si le fluide en subit au contraire, La rotation de ce trièdre pourra être regardée comme une rotation moyenne de l’astre lui-même. Nous formulerons les équations d’Euler pour le fluide ainsi que l'équation des forces vives. Celle-ci conduit, on le sait, aux questions de stabilité. Nous n'avons pas cherché à être complet, au contraire, nous avons évité tout ce qui pourrait faire double emploi avec le quatrième tome du Traité de Mécanique rationnelle d'Appell qui traite en particulier de la stabilité.
Notations. — Dans la suite, L est un indice qui prend les valeurs 1, 2,et3; h, h!, h” trois indices se suivant dans l’ordre circulaire 1, 2, 3. Un trièdre trirectangle sera représenté par X;. Les moments d'inertie et produits d'inertie donnent lieu aux équations
A D PEN EE Xfr), Br, = Zn Xp'Xpr.
La lettre & affectera ce qui a trait au mouvement absolu et la lettre 7 au mouvement relatif par rapport aux axes entraînés X,. Une paren-
thèse désigne un a produit inté (P, Le = PQ PQ PQ . Un crochet représente un produit extérieur ou vectoriel
VO D Qi = P;r D Pr Qu ï Ua |
Dans les équations à signification géométrique, les projectior À toujours faites sur les axes mobiles. Pour simplifier, nous appell « moment cinétique » le vecteur somme des moments des 1:22) it mouvement. | 4
Maintenant, si P; représente les projections sur les axes et de rotation instantanée du trièdre mobile, on a en général : =
(238) Fee DA BR DSP AMEPEC L'énergie cinétique T4 s'écrit
(2381) Tarte rr+(P, Gr);
en posant ceci
Te As Pr AL
ment par rapport à ce trièdre.
Deux systèmes d’axe s ‘imposent tout d’ abord à l'attention :
te
(239) | ZM =0, (240) D) m£nLir 0
Si le fluide est en état d'équilibre relatif, 1l se meut à la manière
de et les axes Lx sont bien solidaires de ce He
mr
pe
ES RLSUX
Chi 3.3
ch
Ces axes sont définis par les nt
(ar) ZE nLh= OS
dZpr DUNIZE ARS Fe Em AE
(242) - Em Zy Sr
Actuellement, (243) PORTES EP (244) Gr AnPr— Br'Pa— BP.
Considérons alors un solide qui serait constitué par les particules du
fluide telles qu’elles sont à l’instant £ et qui serait animé de la rotation P; il a même moment cinétique que le fluide. Ce solide est celui que Poincaré appelle « solide équivalent ». [Il est relatif à un instant. n'existe plus à l'instant suivant où il est remplacé par un autre, puisque la masse s’est déformée entre temps. 0 . S 3 AI 2 a AU e s 1)
3° Envisageons un système Z; plus général que le précédent, où l'on
aurait simplement ue: Gr) 2" 0:
L'énergie cinétique revêtirait encore la forme simple
Te T'+ Tr.
Mais dans les expressions (238) du moment cinétique, les G ne seraient plus forcément nuls. Il y a encore une infinité de manières de faire en
sorte que ces axes 2, soient liés au fluide dans le sens précisé au début. 4° Enfin, avec M. Le Roux, on peut définir des axes liés tels que T”
soit minimuim.
Remarque. — Afin d'éviter de fâcheuses confusions, il est bon de remarquer que les deux premiers trièdres ne coïncident pas forcément. En effet, la condition (240) donne, par dérivation et pour À = 3,
L A (7/00) Don M Pre
dt dt ?
tandis que la condition relative au moment cinétique s'écrit
à , d£; FAN (246) Smli—2mz ie Ô
S1 les axes que l’on se propose de définir, Z, et Z' d’une part, Z, eZ, d’autre part, coincidaient constamment, les quatre sommes 2 précédentes devraient être nulles. Or, voici un système matériel où elles ne sont certainement pas toutes nulles.
Deux barres homogènes, de mème densité, de longueurs inégales, se coupent en leur milieu et tournent en sens inverse dans le plan Z, 7, qui est fixe. Au moment où ces deux barres sont à angle droit, elles coïncident avec les axes Z,, Z, qui sont bien déterminés. Les deux barres se rapprochant de la bissectrice du premier quadrant Z,O7;, les sommes
de (245) sont toutes deux positives si l'équation (246) est satisfaite et si l’ona Z, =Z et 7, =7,.
94. Déformation et stabilité. — La notion commune de stabilité cons siste en ceci : au voisinage d’une position d’équihibre stable, un petit ébranlement initial ne crée pas de grands effets, tandis que sil équilibre était instable, il pourrait entrainer des effets disproportionnés avec la cause, et en particulier une catastrophe.
Si le système matériel envisagé ne possède qu'un nombre fini de degrés de liberté, cette notion de stabilité est susceptible de beaucoup de précisions; elle conduit à la définition classique, celle qui intervient dans le théorème de Lejeune-Dirichlet. |
Mais s’il y a une infinité de coordonnées, comme dans un fluide, les mots « voisinage », « petit ébranlement » n’ont plus un sens aussi précis et la notion de stabilité en devient beaucoup plus délicate. D'ailleurs, de l'avis des meilleurs auteurs, les questions qui s’y rapportent sont loin …
d’être complètement élucidées.
L'usage du point représentatif du système dans l’espace à À dimensions pour un système à degrés de hiberté conduirait normalement à la
représentation dans un espace à une infinité de dimensions des systèmes dépendant d’une infinité dénombrable de éoordonnées. Des difficultés surgissent, car la notion de distance et de np dans cet espace est susceptible de plusieurs définitions différentes qui s'imposent toutes plus ou moins suivant que la fonction de force dépend uniformément ou non des différents paramètres. Il serait trop long de retracer 1c1 ce genre de difficultés, bien connu d’ailleurs dans le calcul fonctionnel, et je préfère donner une définition de la déformation d’un fluide et du voisinage de 4 deux configurations, qui soit indépendante des coordonnées du système, … sans vouloir les imposer, d’ailleurs, car je conçois très bien que Le lecteur puisse préférer d’autres Ne dr
Soient dm une portion de la matière et E le volume de la région de l'espace que cet élément balaie au cours du temps. Üne région où là masse dm reviendrait serait comptée autant de fois. J'appellerai « mesure du déplacement de [a masse fluide » l'intégrale suivante étendue à toutes
fe dm.
Considérons maintenant deux configurations du fluide, j'appelle
les particules
« déformation » la borne inférieure des mesures des déplacements virtuels qui font passer de l’une à l’autre des deux configurations. La défor-
mation pourra également s'appeler « distance des deux configurations ». Elle satisfait aux axiomes de la distance dans les ensembles abstraits.
S1 le mouvement du fluide est périodique, la mesure du déplacement peut croître au delà de toute limite, mais la déformation atteint son maximum durant la première période et ne le dépasse Jamais dans la suite. La force vive totale du système joue un rôle différent, elle peut rester petite, bien qu’au cours du temps la déformation puisse devenir . considérable. |
Ceci étant, nous dirons qu'un état d'équilibre est stable si, étant donné un nombre n arbitrairement petit, on peut déterminer un autre nombre e tel qu’une position initiale quelconque à distance inférieure à & de la configuration d'équilibre et une énergie cinétique initiale également inferieure à e, ne créent à l'avenir que des configurations à distance inférieure à n de la configuration d'équilibre.
S'il s’agit d'équilibre relatif, les déformations et l'énergie cinétique se mesureront naturellement à des axes liés au fluide. :
Îl y aura stabilité s’il existe un trièdre lié tel que le critère précédent s'applique à ces axes-là. Pour rendre rigoureuse la démonstration qui généralise celle de Lejeune-Dirichlet, 1l suffit de préciser la notion de maximum de certaines fonctionnelles,
Nous appellerons « sphère de rayon r » centrée en e, l’ensemble des configurations à distance 7° de la configuration e.
Une fonctionnelle F\c| des configurations € sera continue en un état e s'1l existe une fonction e(r) tendant vers zéro avec r° telle que l’on ait
lFlcl—F e | RE) pour toute configuration c à distance r de e. Une fonctionnelle F|c| continue sera maximum au sens faible en e
s’il existe une sphère de rayon 7 donnant lieu à l’inégalité
here;
quel que soit l’état c à l’intérieur de cette sphère et différent de e. Une fonctionnelle F|c| continue sera maximum au sens fort si sur, toute sphère de rayon suffisamment peut 7, on a
Flei—F
cl>Æ(r),
K2(r) étant une fonction positive qui naturellement tend vers zéro avec r.
Le sens fort ne dérive pas du sens faible comme pour les fonctions
ra ete on eh bac au sens de M. He f n’'insistons par sur Ce genre de difficultés bien connues en calcul on tionnel. NUE #
95. Un critère général de stabilité. — Nous supposons que les fo dissipatives, c’est-à- dire celles qui proviennent de la viscosité, créen travail élémentaire dh. Ensuite nous admerte ons que JE puisse pc
