FES RENE
tante. Pour une na de initiale c, on aura
Le LE Lo ai V ü La différence peut s’écrire
(247) nie Ti + aa ea en
Alors a ditibre sera nr ene-llest a en Étrer de déterm er 1
une sphère s centrée en e telle que sur celle-ci on ait 1 ë
à. QURS Ve LAURE k?,
Æ? étant un nombre à PROD ABreRt pas Et l’on Fat prendre u un nou- Ne kÆ2 e
DUR dé démontrer que la force vive relative restera extréAl
petite à la suite de l ébranlement initial, mais elle ne permettrail pa : L à
démontrer d’une manière générale que les configurations restent tance faible de l’état d’ équilibre. |
Poincaré a introduit une réciproque en quelque s sorte qui s’ interp rèt ainsi, dans le langage actuel. AS Tee Supposons que V puisse prendre au voisinage du e des ls rieures à V.. Il existerait un état initial c, pour lequel
REMARQUES AU SUJET DES MOUVEMENTS GÉNÉRAUX ET DE LA STABILITÉ. 151 k? étant suffisamment petit, et l’on pourrait prendre T£ < Æ? de sorte
que Vo— TS > Ve+ A,
mais on à, d'autre part, V— Tr = — ph,
Au cours du mouvement — À ne peut décroître et, à parür de l'instant initial, on peut écrire
V—T=—h2—h= NVo— TS > V,+ Æ2.
La configuration ne saurait se rapprocher de e puisque l’on a
Il existe donc une sphère centrée en e assez petite dans laquelle la configuration n'entre plus. |
S'il y a dissipativité, le rayon de cette sphère, dans laquelle on est certain que la configuration n'entre plus, peut croître au cours du temps. Ainsi, la dissipativité peut rendre instable un équilibre qui, sans elle,
pourrait être stable, comme Lord Kelvin l’a remarqué.
96. Un théorème récent d’'Appell. — Poincaré et Liapounoff ont démontré qu'une masse fluide homogène et isolée ne peut atteindre un état d'équilibre relatif que si elle est animée d’une rotation autour d’un axe de direction fixe. Dans un article aux Acta mathematica en 1026, Appell a généralisé ce théorème au cas où la densité ne dépendrait que de la pression, la masse fluide pouvant d'autre part être soumise à l’attraction newtonienne d’autres corps fixes ou variables.
Ce dernier théorème se démontre aisément. Soient X, les axes liés au fluide. Un accent (') représentera une dérivation par rapport au temps. Les expressions de la vitesse sont \
A Ds
en projection sur les axes mobiles et celles de l'accélération sont lr — [P, LP, X]},+ EPA P XX:
Soient U, le potentiel newtonien des attractions des particules du fluide et U, le potentiel des attractions des corps extérieurs. S'il y a équilibre relatif, on peut écrire, en se référant au système mobile Xz. po étant la densité et p la pression,
dpt Ur RIUs)
DR ANS A COR Pre aXz ox: 5
les accélérations devront dériver du potentiel V. De l'état d' " relauf, on a | RAS à 143 Ne ee Mais les dérivées de L s’écrivent
dr ! or LA D = PyPy— Pr, 4
OX n° COR RO CR
et puisqu'il faut qu’elles soient égales on en conclut Pro te tion instantanée est fixe par rapport au système mobile, she ne peu
genre un et il doit exister un baténtiel des accélérations, ce hs ex
pe Où | ho DY:
Dans son beau mémoire, Appell étudie épalsaent le cas où la
ne dépend pas de la seule pee
X} quelconques. | AH en no  le vecteur, moment CE des forces exté
négatif ou nul.
De
(248) | 1 (Pr Go)
(249) | Gh= AnPr— BP BrPyr.
Le moment cinétique se calcule facilement et s'écrit actuellemen ; (250) Gi = 6j, + Ge. LACS Le théorème des moments donne
dG?.
(251) (at)
men n re Eu la = An;
RAT Nm "A s » <
Lrholl ‘ALES ar Ô
ces équations sont analogues à celles d’Euler pour le mouvement d’un solide.
Le théorème des forces vives s'écrit d’autre part
(252) dTa = AW + (N, P)dt + dh.
Mais on a, comme précédemment,
(253) Ta T'+T'+(P, G)
et l'équation des forces vives devient, par substitution.
d | | “e DRE Te (HG NICE no.
ou encore, en vertu de (248) et de (250), en éliminant (P, G'),
U É d D Rte GP
et par suite, en dérivant le produit intérieur,
pt darts dP? 2 ie dh D 2 nice ) ) + -
Mais l'équation des moments (251) donne
Ainsiles moments A disparaissent de l'équation de l'énergie qui s'écrit
Pardi
(255) Store (Ge ©).
Cette relation est très générale, puisque le système de référence est resté d'orientation quelconque, fixe ou variable.
Si, maintenant, on adopte le système des axes Z, définis par
(CE à l'équation (254) s’écril
d K di 256 ET OA UE PA DS 1 VA a ER ANS En célte dernière sera utile, notamment s'il n'y à pas de forces extérieures ou si, simplement, le moment A est nul.
98. Les critères de stabilité de Lord Kelvin et de Poincaré, — Recherchons les états d'équilibre relatif qui puissent être stables. Nous savons que la rotation instantanée est dans ce cas de direction fixe et nous pourrons la prendre comme axe des X;.
se
avec
En définitive, l'énergie cinétique relative peut s’écrire
Tr RENE nn !
RAT Me
W est l'énergie botentielle des attractions newtoniennes des part | du fluide entre elles. Cette fonctionnelle ne dépend que de la co ration du système. Si elle est maximum au sens fort pour une co ration, cette dernière représente un état stable d’ équilibre relati l’étude des variations de cette fonctionnelle avec les configuration i quantité & doit être considérée comme une constante. 10 cs le critère de ae Kelpin. | |
» S'il n’y a pas de forces extérieures ou si A — 0, le vecteu r G constant en grandeur et direction. Dans l’état d’ équilibre, il ne pe | coïncider en direction avec le vecteur r P. Actuellement P peut varier grandeur, mais on à toujours SUR i
AGE IP et
et l'équation de l’énergie prise sous la forme (254) s'écrit
Tr=r+W io
A SE TES RE Ie Et US LOL L E VEPE * x = MERS Ed k MED Fa . =
99. Les mouvements de genre un. — Afin de mieux apercevoir la portée de l’artifice de la cavité et du procédé uniforme qui en découle, rien n'est aussi instructif que de chercher à les appliquer dans des circonstances de plus en plus générales.
. Nous montrerons que cette méthode s'étend à tous les mouvements dits de genre un, dont les propriétés essentielles vont être rappelées dans ce paragraphe.
Puis nous procéderons à l'étude des petites vibrations des astres fluides, objet d’une très belle étude de Lord Kelvin (!), dont il est possible de rétrouver et d'approfondir les résultats.
Considérons un fluide parfait soumis à l’attraction newtonienne de
ses propres particules et de corps étrangers fixes ou variables. Les équa-
tions du mouvement s’écrivent
1 Op OÙ
(257) de .
les deux autres sont analogues; 9 est la densité, p la pression, U le
potentiel newtlonien et les y sont les composantes de l'accélération; enfin
PH sera le temps.
… S’il existe un potentiel —Q (x, y, :,t) des accélérations, les équations (297) s’écriront l'O 5 0 D RAS re LÉ Eee mel # (en) = ( .
be de avec + Q En multipliant ces relations respectivement par les composantes dx, dy, 03 d’un déplacement purement spatial, à £ constant, on trouve
Licass) Lip id.
| (1) Phil. Trans, 1863, p. 533-616.
Fa
La densité elle aussi ne pourra dépendre que de p et de £ et l’on aura
celte Ace pourra Varier au Cours du temps. | Réciproquement, l'existence d’une Flan de la fer (59): impli l'existence d’un potentiel des accélérations.
En effet, la relation (259) permet de former le potentiel
l'intégrale étant prise à ‘ constant. Les équalions (257) s’ écriven * ÿ® | OU OR HA
ce qui signifie que les accélérations dépendent du potentiel “
pressions différentes au cours du temps. L Nous appelons comme précédemment « mouvement de genre nn
ou encore «mouvement barotrope » tout mouvement pour las
P=P(Pt}
où test le temps. Ces mouvements sont aussi caractérisés par tence d’un potentiel des Er E ations. M. Bjerknes dirait fluide
