AD MO
1° Le fluide envisa gé peut ére animé d'un mouvement de, ge ret n il suit donc ne Fo he
pour lesquelles l'identité (262) est encore vérifiée. 3° L’astre peut être soumis à E influence newtonienne cons! ste variable de corps étrangers. :
401. Remarques sur les re arguments. — Due choi liers de familles de surfaces S s'imposent à à l'attention : é
les Rite dans leurs mouvements sf CAN et ne ee ch ‘ b. Les surfaces sur lesquelles la pression dr tei porellement la même valeur p(x, y, 3, t)— const. | LU “ K. Dans ce dermer cas, il faudra que ces surfaces restent fermées scindent pas quand on passe de la surface libre à l'i intérieur. F0
tan TT QE
AN QE Ca te SAONE LE PÉNUES SATR
constant-sur S puisque l’on a D — d(p, «). L'équation devient
On connaît l’avantage de cette relation : aucune des deux intégrales du premier membre ne porte sur la cavité intérieure à S et l’on peut déve-
I À ‘ « * i opper - suivant les puissances des distances du poin 5 P : i lopper - suiv P point potentié P au point
. potentiant P', et ce développement pourra n'être employé que là où il
converge absolument et uniformément, c’est-à-dire au voisinage du centre de l’astre, point commun à toutes les cavités. Les deux membres de (267) sont d’ailleurs harmoniques à l’intérieur de la cavité et il suffira d'identifier leur développement de Taylor au voisinage du centre pour satisfaire à l'équation.
On peut déduire de (267) une nouvelle extension du théorème de
Stokes.
102. Le procédé uniforme — Comme précédemment, + sera la distance du point potentié P au centre O de l’astre, R la distance de O au point potentiant P', j'entends au point variable d'intégration; y sera l'angle POP’ et X, le g°"° polynome de Legendre. Nous pouvons écrire
I TL TNT RL QU SA EU ESS r Ha a L LEE Y) F0
D'autre part, les surfaces sur lesquelles la pression est et reste constante seront caractérisées par un paramètre 7. On a évidemment p(}}), p(J,t} puis R (/, 9, b, t), où 6 est la colatitude géocentrique et la longitude.
Dès lors, le coefficient de +? dans le premier membre de l’équation fondamentale (267) est
(268) Re Dn(T
1 CU oR :.
RES BALE Lane TL 14 — Q a 4 Ri—9 + azi f o RIT d]
La fonction H a la même valeur que précédemment
el I he I 1 OR \?
TOUR 00) Fine Ü(R 26) ?
en plus 7, est la valeur du paramètre 7 qui caractérise la surface libre p —= 0. La dernière intégrale de (268) provient de Ia zone Z allant de la surface 7 à la surface 7,. S'il ya des corps extérieurs, leur potentiel
TO UIU sera inSCrit ei simplicité.
Posons encore
(269) Q + sf AQ dG = ru vAQ, 0 ou #0,
Er
l astre, et c’est tout ce qu ‘1 nous faut. | Este des puissances de + dans les deux membres del tion fondamentale (265) donne |
M faQ dc (270) IRk= D Vo —(2q +1) Ya 0, Ÿ Le
re 1.5 a ner
rang q du développement du cr AM comme précédemment. le RAS note absolument He io 1 es
surfaces. Nous poserons en conséquence
CD = 8 D+el( et PU) = 0) Pt D
Pour les petits mouvements au voisinage d’un état. Abe d' qi absolu ou relatif, on conviendra utilement que p° et ®° représ valeurs de o et de ® dans cet état. de :
= Au voisinage du repos absolu, caractérisé par une réparti
rique des couches d’égale densité et d’ égale pres Ï res
rayon de la sphère sur laquèlle la pression PASS Se l'état de repos absolu. | 5
Pour l’étude des petits mouvements au voisinage de l'état haies nous poserons, comme précédemment,
R=7(1+e) aveôr el, ab cr.
Cette fonction e est encore la déformation radiale rapportée au rayon SS la sphère.
Enfin, nous envisagerons : les accélérations et leur potentiel 0. les modifications p! et D! de la densité et du potentiel de la pesanteur, enfin la déformation e comme de l’ordre de grandeur d’une quantité petite À. 5
Développons les deux membres du système (230) suivant les puissances de À et identifions en À. Les termes en À° donnent
) Îs = te Gi f GITE
( iM Si g ——I, l po si q = 0.
Ce système correspond à la stratufication sphérique et au repos absolu.
[l se résout ainsi :
do ne
Ie
ri. D),
D) étant la densité moyenne de la matière intérieure à la sphère de
rayon 7. Le premier membre n'est autre que la pesanteur sur cette
sphère. | a L'identification des termes en À! donne ensuite
l ji jar | PJ dj. [agde SLg—=-—-H#,
ee EC EM LACS NE D CAL L Ci y = \ dt! . à RE Ë Fe “ 0] K g ;:
; j —(2q +0 Y,(7, 0, dt) ERP RU TELE
… L'accolade en e est analogue (!) à celle déjà rencontrée précédemment (?)
: ) ; ” ja d— lp RE D ja V7 + 1 + 5 à dy.
Le tableau (231) est encore très général et convient à tous les petits
(:) Elle n’en diffère aue je le facteur ri.
(2) Page 85.
cation des termes en À À d'un ordre menque.
rons là. | Aer me ce £ Si la relation es bp
Mas nou
quement Aa
1 FENp :
| — -— | AQ dC Sig —=—I,
(272) rile = ne : He Je (29 2)Y,(00 2) EEE go, L 2 Fo
les équations relatives à GET, 2; É Ée . qui interviennent et c'e ces dernières aie nous allons porter notre altention. ME.
cette dernière relation est immédiate puisque l’accolade représer t opération en 7. Le tableau Lei s'écrit pour 4 > 0 2q +1
(273) lei nu dt 0, 4, t):
na
eg(J; 6, Ÿ, t) + >: gsm]; t) ER CDN m=— |
Ya: 0, Ÿ, €) = D 2g,m(fs ©) Yg,m(6, p).
Mm—=—
en ne Xqg,m (5 t).
(274) fer JD =
l’astre étant actuellement exclue a priori (p. 85). On aura
; £ + co . a ‘ egm(ps t) = agim(e)j".
Le système (274) se réduit au suivant :
+ © ; ne 29 +1 Ë (275) Dar) (ie rar Cum n=0
Enfin notons que l’on a, pour une masse hétérogène, - (R n+gn,. ee (276) Ce Has D tir gEen) DJ TER).
Le î el, pour une masse entièrement homogène,
ce n+4g.….
ED Yen Lui l ES 3— - 2 —+ Die .
(Lot TES D(— 5 J? q+n ji 4+n J? re
Puis, pour une masse quelle qu'elle soit, ; FALSE 2 (278) PE ee cd sub,
comme le montre la formule (256) dans laquelle on fait n = g — 2, Les calculs précédents consistent à pousser l'identification des deux membres du tableau (272) aussi loin que possible pour g—1,2,3,::.. Ces développements généraux faciliteront beaucoup les applications de la fin de ce Chapitre. Ils permettent de traiter d’autres problèmes encore.
105. Équations complémentaires. -- Invoquons quelques résultats généraux qui s’établissent directement et, pour ne pas interrompre Îa continuité de cet exposé, renvoyons la démonstration des trois premiers à la fin.
1° L’équation de continuité dont on n’avait pas à tenir compte dans la recherche des figures d’équilibre ou dans les rotations permanentes implique la relation suivante :
