AVEC
a = À g,m COSOgt + By,m Sinwgt.
les fonctions . m. Elles ne nn que du premier indice de la tion sphérique. Les déformations radiales sont
ra (4, dau re mo ÿ)sinwyt]
avec E Es
YHG, deu © Agm Kan(8, Ve
Y3(0, Y) = Lg D Bam Y lg,m (0, 4).
radiales pour la surface libre à l'instant initial { — 0, car P | ;
e(0) => Jane 0 L
e‘(o) => vit? va(u y),
cients ce Ag,m), Bg.m pour g22; * sde 2
les autres sont nuls.
La vibration propre d'ordre q possède la période
2 4/5 2e 29 +1 I g(q—1) VeD D:
déterminée par Lord Kelvin (!).
Elle est inversement proportionnelle à la racine carrée de la densité
du fluide, elle est indépendante des dimensions et décroît avec le rang q de la fonction sphérique. Sa valeur asymptotique est
Ta NN : eee : ID |/
D'autre part, la vibration d'ordre g, représentée par 7e,, diminue comme 77 ! quand g tend vers zéro ; elle atteint la n°"° partie de sa valeur sur une sphère 7, telle que l’on ait
et si g est très grand, 7, peut être très voisin de /,. Cette question est analogue à celle de la houle. Les vibrations fondamentales je, d'ordre élevé répondent aux petites vagues, elles ont une période très courte et leur influence est minime à quelque profondeur.
Au centre de l’astre, la vibration d’ordre 2 est seule à se manifester sur la vibration radiale rapportée; on a en effet
(Je) 0 ee) Ye(0, VE).
Enfin, dans l'expression (258), les intégrales prises de 7 à 7, ont disparu pour n — q —2. Cette zone crée donc un potentiel constant, Île
| même que dans l’état d'équilibre absolu.
Le potentiel créé par la matière répartie entre les deux surfaces fluides p—0 et p—=c reste constant à l’intérieur de cette seconde
surface.
La pression étant constante sur la seconde surface, on déduit aisément de cette dernière propriété la proposition suggestive suivante : chaque cavité vibre comme si la zone correspondante n'existait pas. Par cavité nous entendons, bien entendu, le noyau qu’elle remplace.
Rien ne serait modifié du mouvement d’une cavité st à partir d'un instant la zone était anéantie.
(:) Phil. Trans., 1863, p. 610.
Îl'existe un potentiel des us re ee
nr. ns. — - snoyt =} cyt) : ee E
de degré q en x, - z:
107. Sur les petites vibrations d’une masse incompressible hétérogène. — Demandons-nous s’il est possible que les particules suivent le surfaces à
à pression constante pour un fluide incompressible € et étéro: gène ? On aurait encore pour Re er
5 ol AE a ="; déistnh
mais les accélérations radiales donnent en vertu de (239)
Ping = g TT) Ya, 4,4) FÉL les tonne radiales, en vertu du tableau 8e) .
ee
Sen
Y(0, d, DS nie d, or
pressible. Fes Les surfaces d’égale densité ne no. pas, cepen. des surfaces d’égale pression pour une masse RÉtÉrOERES
SUR. LES PETITES | VIBRATIONS DES ASTRES FLUIDES. ee 169
“Non, car on aurait une relation de la forme o — p{(p, t); la méthode
: RES s appliquerait, les surfaces d’ égale densité seraient des sur- faces fluides puisque le liquide est supposé incompressible, elles pour-
raient pie pour surfaces S et l’absurdité signalée serait inéluctable si D n'est pas constant.
Pour une masse hétérogène et incompressible, ilest impossible que
la famille des surfaces d’égale densité coïncide constamment avec la … famille des surfaces d'égale pression au cours des petits mouvements
au voisinage de la sphère.
Les deux stratificauions devraient ere. | Une relation de la forme o —p (p, {) est donc impossible, ce qui implique, on l’a vu, l’inexistence des potentiels D et Q. Pour les petits mouvements au voisinage de lasphère d’un fluide
hétérogène incompressible, il n’y a nt potentiel de la pesanteur ni
potentiel des accélérations. S'es oscillations sont donc baroclines.
108. Le cas d’un astre perturbateur. — Si un corps étranger attire l’astre envisagé, son potentiel sera porté dans le second membre de l'équation fondamentale (269) qui s'écrit
2 Te ds + ixi f : p dZ ir AT irQe— f - AO dG r dn
Pour simplifier les écritures, supposons qu ÉCTE y ait qu’ un corps perturbateur et de forme Dh Soient m sa masse et L sa distance au
centre de l’astre primitif. Le dernier terme s'écrit, comme on le sait,
y étant l'angle du vecteur OP avec la droite qui unit les centres; on aura pour ce corps étranger
I I S {ta à Re
Le système fondamental s'écrit encore, par identification en 7, pour
| tout fluideà relationo—/(p, t)
”, l 2 | iM— = fAQdG SL get,
détruisent si l’on repère, comme nous le supposons toujours, 1e mouv ment du fluide au moyen d’un SHC d’axe de direction fixe attaché centre de gravité. On sait en elet qu’en obéissant à un champ de gra tation on le supprime. Il n’y aura donc pas lieu de tenir con de l équation g = 1 qui est identiquement satisfaite. Les équations en e deviennent pour g > 1
(284) él — Re, Za(0, ÿ, 4)
avec |
(285) Zg(0, ÿ, 4) = V0, d, t)+ EX, (cosy).
La Ho Ly RU ce par l'intermédiaire de ss les ïe
y faire figurer. Nous poserons comme précédemment
EE
o Z4(0, d, €) = = ag,m(t) Ya,m(0, ).
Mm—=—q
par des calculs di à ceux du A tte 106,
(286) eg = bal? Lg(0, Ÿ t).
(287) nq = — JT? Y4(0, dt) et sur la surface libre on a à chaque instant e — n, d’où LY + wWr a Vq —0;
mais nous avons posé (285). è Da peut élininer Y, entre cette ne et l’é équation (285) 22 à
è Wÿ * LP (288) L!, + w2 La in pp Ko) a
C'est une équation en t à coefficients REA avec second membr Son intégration pourrait se faire comme précédemment sur les coef
À Les équations seraient de le forme # plus simple
20) + wa(2) = = ft).
PLa on no L de cette dernière équation peut s'écrire, comme con le vérifie facilement, :
20 = À coswt+ B soc 1 f° L(s ) sinw(é— +) de,
etlona | RÉrR ,t a'(t) = — w À sinw£ + wB coswt + f f{r)cosw(t—7t) dr. pit : 0 Pour { — 0, & et «' se réduisent comme précédemment à À et oB. Si l’on revient à l’é équation (288) on trouve | | ZIUR? t)= Y{ (0, a (0, d)sinoys
BEF Ne T) dr.
Sim est nulle, Z, se réduit à la vibration fondamentale d'ordre g ren- . contrée précédemmment. La déformation radiale s’ écrit | en e y Me DAC di ER q=2
. À l'instant initial, on pourra se donner e et sa dérivée e’ sur la surface libre en respectant les conditions relatives au volume et au centre de gravité par rapport aux axes entraînés. On a en effet
e(o) <>. My J1? YE (0, d),
ee
e’(o) “QUE 0 ®),
conditions qui déterminent les fonctions sphériques Y} et Y. Les positions initiales et les vitesses radiales initiales des points de la . surface libre peuvent donc être données à l'avance et le mouvement est entièrement déterminé à partir de là. On démontre encore les proposi- lions suivantes que la présence de l’astre perturbateur n'empêche pas. d’être x vraies. |
- Les particules au cours de leur petit mouvement restent à pression constante pour un fluide homogène et incompressible. Le potentiel d’une zone reste constant à l’intérieur de la cavité.
Ja cavité.
- mations s ’ajouteront tout simplement et au lieu des termes en im nous #3
La: zone peut être supprimée s sans que cela char É-
Les molécules pour une masse hétérogène el incompressible ê à pression constante dans toute la masse fluide : $
peuvent pas rester à cours de leur petit mouvement. CR ES OR ET ;
Cette dernière pr oposition s'établit ainsi. Où aurail en, dote 1 d’où {e,}—{n,}, mais cette relation implique par 56) et (289)
Z, (0, Lt) =— ne A et 0 d, .
