RR

On peut à partir de là former les différents polynomes X,(cy). Les expressions R’?X,(c7) deviennent des polynomes homogènes de degré n en z', y’, z/; tandis que les quantités eo = restent touJours exprimables en 0 et d. On trouve ainsi à grande distance

(20) D EX, (e0)e à OL NP

La constante M est la masse totale, les constantes À, C, E, F G sont

A = fet?+e)av, E= | px dV, F = J ext EN.

C = fe(a+y2) av, G = be z* AN, = fers FAT

Les deux premières À et C sont des moments d'inertie.

15. Autres expressions du potentiel newtonien et de sa différentielle totale. — Prenons l’expression du potentiel d’une masse homogène en un point de coordonnées #, y, z

U=p f rev

te Has re y P+(=r)

Na x

et Ja différentielle totale de U peut aussi bien s'écrire

L dz\ 0 {dy d [ds ae fe) A0 GC Je Or, l'expression « entre crochets » est une divergence et fi

s'exprime par un flux au travers de la surface S qui limite le envisagé. On démontre que la première : identité de Green 6 ss

encore à ce cas, malgré la singularité de = ee.

S1 «, 5, y sont les cosinus directeurs ue la normale i intérieure a potentiant, on obtient | 2 A D RARE NE A AS ES

Hits | TETE de Sora.

Si ds est la longueur du déplacement dé Con ont dx et d la direction de ce déplacement, (pe n' la rc de 1 n intérieure à S, on aura ds

pr ue ne A:

pe. he

Cette expression peut être considérée comme el'expression diff en d’une formule donnée par Gauss

| Eee ns,

Re

mules (21) et (22). On a par exemple

QU y ds aU 1 QU dx' dy ef ©, D= = ef scos(ds, n')4s, = ef

Ces trois expressions sont équivalentes. Dans la dernière, l’élément dx dy' sera pris positivement ou négativement suivant que le côté intérieur de la portion dS de surface est tourné vers les 3 positifs, ou vers les z négatifs. En x et y les dérivées seraient analogues.

Considérons ensuite une masse hétérogène. On peut évidemment la décomposer en une superposition de masses homogènes. Avec plus de

précision, soient S,, S2:, S3 une succession de surfaces fermées, régulières, emboîtées les unes dans les autres, puis : V, le volume limité par S, et Z, la zone comprise entre S, et S,,,,. Enfin, soient o, la densité d’une matière homogène répartie dans Z,, puis p» la densité de Z,, .... On supposera ces densités croissantes. Cette masse hétérogène peut, 1l est clair, être considérée comme formée du volume V, à la densité w,, auquel se superpose une couche de densité 03 —0,, remplissant V,; puis une couche de densité p3 —p, remplissant V;, etc. Le potentiel s’écrira, en conséquence,

U= a / RdVi+ (pa pi) [ SdVa (ape) f EdVa..

Enfin, à la limite pour une infinité de couches homogènes infiniment minces, on peut écrire

: Co (22). U=ei [Fais f de [ +av:

? on

po est la densité maximum, V le volume limité à la surface régulière S de densité op.

Ainsi la matière hétérogène envisagée se présente bien comme une superposition d’un nombre fini ou d’une infinité de masses homogènes. Pour, cette masse hétérogène, grâce à l’aruifice du début, on pourra écrire

dU à AE ne en [ cos(d, n4)dSi+ (eur) f <cos(d, No) dS2 +...

puis, en passant à la limite, le nombre des couches augmentant indéfiniment,

GENS = a f - dos(d,-n1) 48 de f <cos(d, n')dS.

Pa

Les dérivées parüelles sont à leur tour

[ 2] ! ! Po Ÿ, 2 !

j dx” d (23) ÆS ef ee (A4 + f de Î Mdr 6 2 — .

JZ A %n à

, Les formules sont analogues pour les deux autres dérivées. La première intégrale est étendue à S, et la dernière en x’, y! est étendue à la surface S de densité o.

Les transformations précédentes sont légitimes si la densité est régus lière au sens faible et si les surfaces S sont formées d’un nombre fim de portions régulières. Cependant, la frontière de l’ensemble, où la densité est po, peut être absolument quelconque. | |

S1 la densité subissait un saut p'— 0” sur une surface fermée, régulière, intérieure à la masse, l'élément do devrait être remplacé par p"— p! pour cette surface-là.

16. Les équations de l’hydrodynamique. — Considérons un fluide parfait, c'est-à-dire sans viscosité, et détachons par la pensée une particule infiniment petite de centre x, y, z et d'accélération y+, };, 72. Soient p la densité, et p la pression rapportée à l'unité de surface, puis X, Y, Z les projections de la résultante des forces extérieures rapportées à l’unité de volume. Les équations bien connues qui régissent le mouvement de la particule s’écrivent

pe 03

(24 ) Æ X —y;, —— = ma À ces trois équations, on adjoint habituellement deux relations : l'équation caractéristique

SES F(o,p,Tt)=0, dans laquelle + est la température, et l'équation de continuité (26) e =D,

où D est le coefficient de dilatation cubique, et 0, la densité au point que la particule occupait initialement.

Mais, l'équation de continuité n’interviendra qu'excepuonnellement dans ce livre, car les mouvements étudiés, une simple rotation par exemple, seront toujours tels que la densité d’une particule reste constante au cours du temps, et le coefficient D sera toujours égal à l'unité.

Quant à l'équation caractéristique, elle ne s'applique, sous la forme (25), que si le fluide est chimiquement homogène, par exemple s'il s’agit d’un seul fluide compressible. Les fluides considérés 1c1 peuvent être constitués au contraire par plusieurs ou même une infinité de fluides chimiquement différents. De sorte que, si l’on voulait tenir compte d’une équation caractéristique, il faudrait l'écrire, avec M. Dive,

Us, P; T,À) A

ne Je paramètre d caractériserait la nature chir

fluides envisagés. x Hya plus; nous verrons que dans des cas assez 2 généraux, la

et la pression seront liées par une relation ur en

RU

indépendante de la température, et cela à cause de da nature même

mouvement et non pas en vertu d’une équation CaractérisLique donnés

l'avance. | d' Pour les étoiles pulsantes nous écririons, daleurs ; Door

où £ est le temps. à | 1° FRAC de continuité et DE caractéristique ne jouer nt :

donc ici qu’un rôle secondaire. as Cu des raisons de stab té,

attractions OO de d’un potentiel UC V, 3; « x

& Le & =

où

fixe. Lacblaaude de nu particule est de vers le cent cercle trajectoire et l’on a, c’est bien connu, 1

Vue 7 WE, pa

Les seconds membres changés de signe constituent les compo de la force centrifuge. Les équations qui terminaient le Parasis cédent s'écrivent maintenant |

(29) RE M me UE TA RE

ÉQUILIBRE RELATIF ET ROTATIONS PERMANENTES. A ra

en coordonnées d’Euler par rapport à un système d’axes solidaire du fluide. Introduisons le potentiel de la force centrifuge Q — (x? + y?) et

posons :

® sera appelé « potentiel du champ de la pesanteur » et les équations (28) s’écriront

Enfin, en mulüpliant par dx, dy, dz et en additionnant, on trouve (30) | = dp = d®.

De cette équation qui résume les trois relations (29) et qui leur est équivalente, on déduit habituellement les conséquences suivantes.

Si, pour un déplacement du point ZT, Y, z le long d’une ligne ou d'une surface, p reste constant, alors ® reste constant, car dp — 0 entraîne d® — o et réciproquement. |

Les surfaces d’égale pression et d’égal potentiel ® coiïncident, d’où

Puis, l'équation (30) prend la forme

Lab

bp d'où