EN E A
Cette vitesse est exactement le double de la vitesse critique (11) de l'effet centrifuge que nous avons rencontrée précédemment. Explicitons la période :
La pulsation dans le temps est w—Ÿv.
La période est donc gp 272702 (ax)
Re cv Mais, d’après (32) et (33), CU LINE RS 725 Nas Vi
sy.
en posant
Par suite :
ax (l— Na (34) de [V, IV, Vi=& — En substituant à Ve sa valeur (33) on trouve finalement : ie —
Y étant la déformation statique au droit de la charge. On voit donc que le système oscille comme un pendule simple de longueur YŸ si la vitesse de passage est assez petite, mais que la période de cette oscillation augmente indéfiniment quand la vitesse tend vers la valeur critique (33). À ce moment, on peut dire que la poutre ne fléchit plus.
Il est intéressant de comparer à la période statique
(er)
la durée te du passage aux vitesses critiques (11) et (33).
EAN dr
Pour la première de ces vitesses on a :
Pb pe ES eL Re À
f étant la déformation au milieu, ou flèche. La période d’oscillation au milieu, et au pas, est, d’après (35),
Ti or /£.
Comparant à (36), il vient :
Pour la seconde vitesse critique, (33), qui est deux fois plus grande, RER è \ Se À ce rapport serait —. C’est dire que les vitesses critiques sont de l’ordre de celles qui font passer la charge dans une durée voisine de la demipériode d’oscillation du système.
a. RÉACTIÔON HORIZONTALE.
Le bilan énergétique nous réserve une curiosité résultant de l’élasticité variable.
L’équation (24), qui exprime l’équilibre des forces, donne par intégration suivant l’axe des y :
(37) P'éy+fr (te ydy=C*.
Le premier terme s'intègre immédiatement et donne : J'ai Le second s’intègre par parties et conduit à, puisque F dépend de x, fini: fr dr.
L’équation (37) devient donc :
! 1 c 1 9 dF : y 2 | Fÿ = y - dx + ee
Si nous multiplions ceci par Mx”, il vient, en vertu de (1 bis) et
rs
! k d à (24 bis) qui donnent F— >, et en posant vy' — a —y (vitesse du mouvement vertical),
= Mu° + ky—= De LT CE
RTE À x AS TOL NET ER On voit ainsi apparaître le travail d’une force $ 1 dirigés
suivant l’axe des x et contre laquelle il faut agir pour maintenir constante la vitesse de passage v. Autrement, le mobile serait accéléré jusqu’au milieu de la poutre, où cette force change de signe, et retardé ensuite.
b. LE POINT DE VUE DE RÉSAL.
RÉsAL a longuement analysé, dans son cours déjà cité, les effets d’une charge en repos, concentrée ou répartie, appliquée pendant un. temps variable, très long ou très court devant la période T d’oscillation du système. Il en a dégagé la loi du mouvement vertical consécutif à cette mise en charge temporaire et a montré que la déformation, qui peut atteindre au maximum le double de la flèche statique, se réduit à une valeur bien inférieure à celle-ci pour une durée d’application très courte.
Le phénomène se résume ainsi :
Soient f la flèche statique d’une poutre sous une charge donnée et T sa période d’oscillation en charge. On trouve facilement, en partant de l’équation (2) prise avec Æ constant, que si la poutre est chargée instantanément sans vitesse ni déformation initiales, sa déformation au temps t sera
, 271 y=f( CAL expression qui fait varier y entre zéro et 2f.
Mais si l’on considère une durée d’application + très petite devant T, on est fondé à écrire, en développant,
