LAON

de sorte que, dans les premiers instants, la charge tombe d’abord en chute libre pour se redresser ensuite ou ue disparaître suivant les conditions posées.

= Mais si # est inférieur au quart de la période T, on est assuré que y sera plus petit que f et c’est ce qui fait dire à RÉsAL que les charges rapides, d’action nécessairement éphémère sur les poutres courtes, ne peuvent imposer à celles-ci une flexion notable.

Ce point de vue est ici renforcé par le fait que la période d’oscillation sous les charges mobiles est, d’après (35), allongée par la vitesse de passage. En remplaçant dans les équations ci-dessus la période T par son expression (35), on trouve en eftet pour la déformation en fonction du temps :

ro)

et on voit ainsi que non seulement la charge ne tombe plus en chute libre dans les premiers instants, mais encore qu’elle ne tombe plus du tout quand sa vitesse atteint la valeur critique (33). La poutre, dès lors, ne fléchit plus.

C’est bien le phénomène auquel on pouvait s attendre, mais on peut se demander maintenant dans quelle mesure l’allongement de la période s’oppose à l'établissement des déformations dangereuses.

Supposons, pour simplifier, que la période ne varie pas au cours du passage et cherchons la vitesse w1 qui conduit le mobile au milieu de la portée en un temps égal à la demi-période (ce qui donne une oscillation complète au passage et une flèche double au milieu). Le temps

nécessaire sera

ou, d’après (35) et en posant

On en tire 9 1 Fer) Fa Or, ici, Mg re A8EI

JP TOUL:

et PAP NUM selon (33).

Donc Bree SL a#G" 30 FN Var ou

Cette vitesse permet donc encore d’obtenir une flèche double au milieu de la portée.

Une vitesse telle que

B,—=— = 0,538 vit

ne permettrait plus de dépasser la flèche statique f au milieu et une vitesse plus grande fournirait des déformations moindres.

Mais une majoration dynamique plus élevée se fera alors sentir dans la seconde moitié de la poutre où la raideur augmente. Le danger se reporte vers l’appui de sortie qui est énergiquement battu par la charge quittant la poutre.

Enfin, tout ceci suppose évidemment qu’on reste dans le domaine élastique. L’oscillation cesse dès qu’on sort de ce domaine.

L4. Charges multiples. — Couplage.

Revenons maintenant aux faibles vitesses pour étudier spécialement l'effet de la pluralité des charges. :

Lorsqu'une poutre porte, en différents points x1, x, … de sa longueur, des charges concentrées P1, P2, … tout mouvement oscillatoire de l’une de ces charges se communique aux autres et le mouvement résultant est une oscillation synchrone de tous les éléments du système.

Cette oscillation résultante devant satisfaire à l’équation d’équilibre de chacune des charges ne peut avoir que certaines fréquences », 2... qui diffèrent des fréquences propres 41, @2, … des charges prises isolément mais en sont des fonctions déterminées. C’est le phénomène de « couplage ».

Les problèmes de cette nature ont été largement étudiés par M. Yves

A TO e0 à

Rocard (1) dans le domaine électromagnétique. M. Adrien Foch (2) a traité de ce phénomène dans le domaine acoustique et M. Béghin (1) dans celui du gyroscope.

Dans le cas général envisagé ci-dessus, M. Yves Rocard conseille l’emploi de la méthode de Lagrange. C’est, en effet, la seule pouvant conduire à des calculs praticables dès que le nombre des charges surpasse deux ou trois. Mais comme nous nous proposons seulement de montrer la nature du phénomène, nous nous limiterons au cas simple de deux charges concentrées, analogue à celui traité par M. Adrien Foch à propos du double pendule de torsion.

Soit donc une poutre de portée. / (fig. 3), supportant aux points x1 et x, deux charges concentrées P1, P2 de masses respectives M1 et M2, qu’une cause fortuite aura mises en oscillation suivant la verticale ow.

Si l’on désigne par hi le déplacement produit au point xi par une