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LA HE NERR A Fic. 3
charge unité placée au point xi, le déplacement vertical de la poutre au droit de la charge P1 sera, dans l’état dynamique qui introduit les forces d’inertie :
Vi tn (P, RE M,» E he (ee Fe M»).
On en déduit l’équation différentielle du mouvement de Pi :
hay +) RUE CE hole Re h,,M yo
En posant, pour faciliter l'écriture :
(38) bio her, h,—=h, = (réciprocité), il vient : ; (39) Myi+hn=P;-khl,-khMy (1) Yves Rocarp. — Dynamique générale des vibrations. Éd. Gauthiers-
Villars, Paris.
(2) Adrien FocH. — Acoustique. Éd. Armand Colin, Paris. (1) H. BÉcHIN. — Statique et Dynamique. Éd. Armand Colin, Paris.
RRQ es
di
et de même, pour le mouvement de P2 :
(40) Moye+hoyo = Ps —RhP, — (TRE
Ÿ Les mouvements possibles du système sont ceux qui satisfont à la fois les deux équations (39) et (40), même en l’absence de la pesanteur, c’est-à-dire dans le plan horizontal où interviennent seules les forces élastiques et d’inertie. Faisons done P1 = P2 — ©.
Les équations d’équilibre se réduisent à :
(41) My bn = RM, (A ?) M,y2 Ge ka ue khM, ie
Eliminant y”2 entre ces équations, il vient :
My: (1 te koh?) ki Ÿ fol Ye.
Dérivons deux fois cette relation; on obtient :
(45) My Oo kRhye by hhhye
On peut alors éliminer de nouveau y”2 entre (40) et (43), ce qui donne finalement :
2 TVR À É M, 1 kil, (44) G—kkh My +R - ke)" = — 0.
En posant (1-k1k2h°) — A et introduisant les fréquences propres
ne Ge ie 1 VM, 2 EN,
des masses isolées, on obtient l’équation différentielle du mouvement résultant, valable à la fois pour y1 et y2 puisque rien ne distingue plus dans (44) les coefhicients k1 et kz :
(45) Ay" + (oi + oi) y'—+ wiwiy = 0.
Cherchons une solution de la forme :
(46) y=asin:(vt+).
On obtient nour la caractéristique de (45)
°L8) Avi — (oi +) 2? -L ai — 0 d’où l’on tire :
ph (a+ ot) (at Ha) 5
an
c’est-à-dire :
(49) nel Et. AAy| en posant :
CNE : Y aron
Nous verrons plus loin que le radical est toujours réel et que, par conséquent, il y a toujours mouvement oscillatoire mais de fréquence v. Dès lors, on peut développer le radical en série suivant la formule du binôme, ce qui conduit aux expressions suivantes des deux valeurs de Ÿ :
DRE PME e DE CAT PV CS)
la série étant convergente du fait que AY est < ”
Il y a donc deux fréquences résultantes dont la plus élevée, donnée par la série positive, dépend du facteur numérique A (fonction des positions des deux charges). La plus basse, donnée par la série négative, s’écrit, compte tenu de (50),
