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Une seconde conclusion tient dans cette remarque que, d’après (53), si l’une des fréquences propres croît indéfiniment devant l’autre, qui devient alors la fréquence basse, la fréquence résultante Y se confond avec cette dernière. …

Le coefficient 7 (50) est maximum quand les fréquences propres sont égales et il vaut alors Fi Il tend vers zéro quand l’une des fréquences croît devant l’autre. Le coefficient À reste compris entre zéro et à!

On conçoit qu’en opérant ainsi sur un nombre n de charges distinctes, qui fourniraient r équations d’équilibre du type (41), on soit conduit à une équation différentielle du n° ordre pour la détermination de la fréquence Y du mouvement résultant. Les n racines de cette équation fourniraient donc n valeurs possibles de cette fréquence dont la plus basse caractérise ce qu’on appelle en acoutisque le mouvement fondamental, les autres caractérisant les partiels. Quand ces partiels s’éche: lonnent suivant une série arithmétique de nombres entiers, ils constituent les harmoniques.

Si une force périodique agit sur une poutre chargée, elle peut entrer en résonance avec le fondamental ou bien avec l’un des partiels : on observe alors des régimes oscillatoires différents pour une même poutre sous les mêmes charges. Ce cas s’est présenté notamment dans les expériences effectuées par le « Bureau Véritas » sur les portiques roulants de Gennevilliers, expériences qui ont fait l’objet des études publiées par MM. Perrin (1), Buisson et Gellusseau (2).

(1) Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics. Circulaire du 25 août 1946.

(2) Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics. Circulaire du 16 juillet 1946.

EP SN 1,5. Influence du poids de la poutre.

Les résultats qui précèdent vont nous permettre d’examiner. le rôle du poids propre de la poutre que nous supposerons uniformément réparti à raison de p kg par m. La masse par unité de longueur sera donc :

Examinons d’abord le comportement de la poutre sous cette seule charge. Les abscisses x étant toujours comptées suivant l’axe de la poutre à partir de son appui dè gauche, soit y la déformation verticale au point x comptée vers le bas (fig. 4).

Si la poutre est en état oscillatoire, l’équation d’équilibre d’un élé-

ment dx, de masse du — mdx et poids pdx, soumis en ce point à un mouvement vertical d'accélération

dy DL

sera :

mdr. 7 1 Eld (52) — pdx

d’où l’équation différentielle :

dy LEE dy dE m da!

La pesanteur g donne une déformation fixe qui s’exprimera par un polynôme du 4° degré en x, représentant la déformation statique de la poutre,

Le mouvement oscillatoire, ou mouvement propre de la poutre, est celui qui répond à enr en sans second membre :

ET )' (57) PRE m nn

PO) dont la solution est fournie par une somme de termes de la forme

y=Asn (wl+a) sin yx

où A et & sont des constantes. Il est inutile, ici, de prévoir une constante de phase dans le terme en x car la condition d’avoir y = O aux extrémités de la poutre (x — 0 et x — Î) n’en demande pas et se trouve satisfaite avec :

TT 5 y —=7 ou ses multiples.

On a ainsi, en prenant « —0, (A ÿ{=— Au sin œl sin — T

yo = AT F ‘sin œf sin T..

Portant ces valeurs dans (57) on trouve la condition : Elz: 9 RE D

d’où la pulsation :

ne FVE et la période :