FRS QU

; 3 : ‘ 7 x1 — Ô] de la charge mobile. On voit que ce coefficient varie de :%

S rs à zéro quand la charge mobile passe de x1 —0 à x1 — > où elle se

confond avec P2.

Nous pouvons maintenant conclure que :

Lorsque la charge mobile P1 s’engage sur la poutre, la grande raideur locale k1 de celle-ci lui confère une fréquence propre 41, tout d’abord très grande, tandis que la charge fixe P2 garde la fréquence propre constante &2 de la poutre. La fréquence basse Y du mouvement résultant se confond alors avec celle 2: de la poutre, tandis que la fréquence haute v’ de ce mouvement ne peut prendre une amplitude appréciable faute d’énergie disponible. On ne l’observe donc pas.

Puis, à mesure que la charge mobile s’avance, le coefficient A s’abaisse, ce qui relève davantage encore la haute fréquence V du résultant et donne à la fréquence basse v de ce dernier la valeur définie par la relation (52). D’une façon générale, en calculant chaque fois la série H”, on pourra composer les périodes par la formule (56) qu’on écrira ici : |

(62) rc

ou faire la construction géométrique classique du triangle rectangle pour obtenir la période longue, seule apparente en pratique, du mouvement résultant,

En résumé, le poids propre de la poutre, ou du pont, a pour effet de diminuer considérablement les variations de la période d’oscillation du système au cours du passage de la charge. On peut dire que les ponts lourds stabilisent leur période. Et cela est d’autant plus marqué que, la fatigue de l’ouvrage sous l’ensemble des charges étant fixée d'avance, la participation relative de la surcharge diminue quand le poids du pont augmente.

L6. Effet de mise en charge.

Coefficient dynamique d’oscillation.

Le problème du coefficient de majoration dynamique pose celui de l’amplitude des oscillations des poutres chargées. M. TIMOSHENKO a cherché à le résoudre dans le cas de la charge

Le IAE (9 éd

concentrée mobile en assimilant cette dernière à une charge fixe placée au milieu de la poutre mais variant dans le temps suivant la loi + TU P=P, Rte) de manière que la durée d’une demi-période de la pulsation se confonde avec la durée du passage de la charge mobile, à vitesse v, sur la poutre de longueur L.

Mais le résultat obtenu de cette façon se confond avec l'effet centrifuge calculé sans hypothèse par SToKEs comme nous l’avons vu au : paragraphe I,2. Il s’agit là, en effet, d’une pulsation forcée dont la dérivée seconde par rapport à #& joue le même rôle que la courbure de la trajectoire dans le problème de Srokes. La majoration dynamique consécutive ;

ed

est de même forme que celle S de STOKES et se trouve, comme elle, bien déterminée.

Au contraire, l’amplitude du mouvement oscillatoire propre du système dépend seulement de la simple vitesse et n’est déterminée que pour des conditions initiales données.

Lorsqu’une charge mobile aborde une poutre, l’inertie de cette dernière ne lui permet pas de prendre immédiatement la déformation que requiert la force élastique nécessaire à l’équilibre.

Il en résulte une accélération des charges vers le bas, sous l’action excédante de la pesanteur et un accroissement consécutif de la force vive du système. L’énergie cinétique ainsi accumulée va permettre à ce dernier, après un retard à l’équilibre statique, de dépasser celui-ci pour y revenir ensuite. Si, dans ce phénomène, la masse et l’élasticité du système déterminent nettement l’intervalle des passages à l’équilibre, l'amplitude du mouvement entre ces passages dépend entièrement de la déformation et de la vitesse à l’origine du mouvement. \

Considérons une charge mobile s’engageant sur une poutre pesante, de portée L. Si sa vitesse était négligeable, elle décrirait une courbe S(x), suite continue de ses positions d’équilibre statique. Maïs si sa vitesse est notable, nous avons vu que l’effet centrifuge accroît les ordonnées de cette courbe qu’elle affecte du coefficient

(63) DEN VE En

Mr 0e

où w est fonction de la position x de la charge. La courbe S(x) est alors remplacée par la suite des positions d’équilibre dynamique centrifuge.

S HS

fonction de x et de v.

Ceci s’amplifie maintenant du mouvement oscillatoire dont les calculs précédents détérminent la pulsation fondamentale v (53) ou la période T (54) correspondante. Le mobile ne rencontrera plus alors qu’en quelques points la trajectoire S1 dont il s’écartera périodiquement de quantités variables (fig. 5).

Fig. 5.

À partir d’un de ces points d’intersection, O’ d’abscisse x, la trajectoire du mobile pourra s’écrire :

(64) y=S,(x+a)+Asin.T

puisque

et en particulier au point O’ (x — 0), u = (2), + Av.

Par suite, l’amplitude A de l’oscillation atteindra la valeur : (65) | A=ifa,—v(),]

qui dépend comme on voit, d’une quantité indéterminée we pouvant résulter aussi bien de causes fortuites telles que des chocs, que de l’état oscillatoire antérieur qui impose nécessairement ses conditions.