JEiq (111) VE

identique à (99) du paragraphe IL.

La formule (109) généralise l’expression obtenue au paragraphe I,5 pour la pulsation © de la poutre sous son poids propre. On en déduit la période :

(as) In NU

evo put ve 7 Ege

On retrouve cet allongement de la période déjà rencontré dans le cas des poutres courtes à surcharge ‘ponctuelle avec cette différence que les deux vitesses critiques sont maintenant confondues.

Les conséquences de l’allongement de la période prennent ici une nouvelle forme puisque l’action de la surcharge n’est plus nécessairement éphémère. Le passage peut se prolonger, par hypothèse, aussi longtemps qu’on voudra.

Si, donc, une flèche d’équilibre fo étant atteinte sous une surcharge

mobile p’ de vitesse v, on vient à augmenter brusquement cette vitesse

A ra Re

de v à 1, une nouvelle flèche d’équilibre f1 devra s’établir. Or, ceci ne pourra se faire que par un mouvement oscillatoire d'amplitude :

af — fo

et de période T donnée par (112).

Ce mouvement sera conforme à l’expression :

y—a(: cos T )

et donnera la nouvelle flèche après un temps :

\ ; À Li: : < puis la flèche f1 + a au temps + à l’amortissement près.

Si la surcharge p’ est très petite, le rapport $ sera négligeable et ces résultats seront obtenus dans les délais de la période statique. Mais si elle est notable et sa vitesse élevée, l’allongement de la période pourra être assez grand pour retarder beaucoup l’établissement de la nouvelle flèche 1. On peut même dire, enfin, qu’à la vitesse critique (111), la flèche initiale fo ne pourra plus changer. |

C’est dire que le phénomène oscillatoire, aux grandes vitesses, s’oppose à l’accroissement de courbure causé par la force centrifuge. Il modère ou arrête l’action dynamique centrifuge après l’avoir renforcée aux vitesses inférieures.

IL6. Problème de Renaudot.

Nous généraliserons maintenant le problème de BRESSE en considérant le: cas où la surcharge, toujours en mouvement, n’occupe pas encore entièrement le pont mais le couvre seulement sur une longueur a <1 à partir de son appui de gauche (fig. 10).

C’est, nous l’avons dit, le problème traité dès 1860 par RENAUDOT, mais que nous aborderons ici d’une manière différente pour mieux discerner les divers phénomènes qui s’y présentent.

Assimilons donc le convoi mobile à une surcharge continue partielle

2 MONS EU) IEP

de p’ kg/m occupant à l'instant £ considéré, la longueur a qui varie

continuement avec la vitesse :

v — ui =

Le poids propre du pont constitue, en outre, une charge permanente fixe de p kg/m.

L'équilibre d’un élément du pont pris dans la partie a occupée par le convoi est donné par l’équation rs 7

| NP D (php (112) arte pes PI TA

obtenue en écrivant, comme au paragraphe IL5, la nullité de la résultante des forces gravifiques, élastiques et d’inertie.

L’équilibre d’un élément du pont pris dans la partie (/— a) non chargée (où p’ — 0) est alors exprimé par :

à » Mug) ras vi De om

On voit immédiatement que les mouvements propres des deux branches a et (2— a) de la poutre seront différents, d’où résultera une certaine complexité des mouvements oscillatoires,

: s ne Mais le terme

prend plus seulement l’accélération du mouvement propre : il est la somme de cette dernière et d’une accélération forcée résultant du déplacement continu de la charge qui modifie sans cesse les déformations du pont.

On peut établir l’équation de la ligne déformée de la poutre sous une charge continue partielle d’étendue a et en déduire l’accélération forcée, en chaque point, quand a varie avec le temps. Mais cette fonction, algébrique, ne se prêterait pas à l’intégration des équations cidessus. Cependant comme elle s’annule aux appuis (x — 0 et x —Î) et seulement là, on peut la considérer comme la phase d’une fonction périodique et la décomposer en une série de FOURIER appropriée dont tous les termes se prêteront à l’intégration.

Ceci étant, nous nous bornerons, devant l’intérêt d’aboutir à des formules simples utilisables en pratique, à représenter cette courbe de déformation forcée par un seul terme sinusoïdal, en x et #, donnant la flèche maximum f1 due au passage du convoi au bout du temps

qui figure maintenant dans les équations ne com-

2e ; x l, —> de la mise en charge complète du pont.

Ce sera donc :

TUt (114) = /, sin 7 sin: Li donnant pour expression de l’accélération forcée : ; SA Tv ITU (115) A pie sin SM

Si l’on pose alors :

Y—ŸY; Eye, de at)

et qu’on reprenne, par exemple, l’équation (112) de la branche a, on sera fondé à séparer le mouvement forcé y1 et le mouvement propre y2 qui répondront respectivement aux deux équations différentielles :

a. Mouvement forcé :

D A EN nn (P+P)r PRE D (116) DE F q "2x (p- p) q AP FJ sin 21"?

b. Mouvement propre :