ND HEURE

ve étant la vitesse critique (99), on peut écrire : AE 1 v?

(126) M (ptP)f re en posant :

Dé Er |

C’est la valeur maximum du moment supplémentaire de progression (125) ; elle a lieu au milieu du pont et quand la tête du convoi atteint l’extrémité, c’est-à-dire en même temps que l'effet centrifuge maximum calculé au paragraphe précédent et auquel il s’ajoute.

On voit par l’expression (126) que ce moment supplémentaire peut prendre des proportions notables en raison du diviseur (1 — f*). Mais nous avons vu au paragraphe ITL5 que ce même facteur retarde la déformation consécutive, en sorte que le danger s’éloigne à mesure qu’il grandit.

IL8. Oscillations.

Les mouvements oscillatoires du système sont régis par les équations (112) et (113) prises sans second membre, soit :

= NAME SM else ue et (127) + s—

dx! q "DE —

pour la branche a,

(128) | FL RP ee

pour la branche ({ — a).

| La première, identique à (107), entraîne un mouvement propre : (129) R Yi — db SIN y,Æ Sin wt dont la fréquence est donnée par (109).

La seconde entraîne un mouvement propre :

(130) Ya Sin px sin œf

dont la fréquence est :

ea e DANS

Ces deux fréquences propres varient continuement avec le temps du fait du déplacement de la charge qui modifie sans cesse Y1 et 2. Le mouvement résultant dépendra donc ici de quatre facteurs : les amplitudes b1 et Jb2 et les fréquences spatiales y1 et y:.

On conçoit que le problème abordé de cette manière devienne vite inextricable.

Aussi en appellerons-nous, comme le conseille en pareil cas M. Yves Rocarp (1), à la méthode énergétique qui nous donnera directement la première des fréquences résultantes, toujours dominante en fait.

Comme il s’agit de grands ponts, où la durée du passage du train est bien plus grande que celle d’une oscillation, on peut supposer celui-ci immobile pendant une période de cette dernière et négliger même l'effet centrifuge qui est petit et en tout cas facile à rétablir.

Dans ces conditions, les mouvements des différents points du pont, ou de la poutre, conservent à sa ligne déformée une figure toujours semblable à elle-même et représentable par une expression de la forme :

où f. déformation.en ‘un point fixe (flèche au milieu par exemple) est seule fonction du temps tandis que @ ne dépend que de x. Or p et p” étant les poids au mètre de la charge permanente et de

(1) Dynamique générale des vibrations.

oNERens

la surcharge sur un élément dx du pont, l’énergie cinétique totale de l’ouvrage chargé est :

wife (y

tandis que son énergie élastique de flexion, pour un module E et une inertie de. section Ï au point x, est :

W,—2 ('E (22) dr.

L'énergie totale du système est donc, d’après (132) différentiée par rapport à f, puis à x:

(1 33) W+W.=—: /° 1 ie dx + | il EIS'"dx

où les intégrales sont des quantités fixes que nous désignerons, dans l’ordre, par a et b.

L'énergie totale devant rester constante, on a :

dW— af" -df +6 -fdf—o.

Divisant par adt, on obtient l’équation différentielle de la flèche :