SEEN

pas rigoureux parce qu’ils supposent une forme particulière de la fonction œ qui n’est qu’approchée. Aussi avons-nous établi pour l’application correcte de la formule (135), une méthode simple et rigoureuse, indépendante de l’expression analytique de la fonction ® et qui demande uniquement la construction préalable de la ligne moyenne déformée statique y(x) de la poutre ou du pont, travail couramment exécuté dans les bureaux d’études.

Elle consiste à établir la longueur À du pendule équivalent au pont chargé, longueur voisine de la flèche statique du pont et que nous appellerons pour cette raison sa « flèche pendulaire ».

IL9. Flèche pendulaire.

Reprenons les deux intégrales de (135). Comme : 7? (x)

et que f est une constante dans ces intégrations, on a :

| BL EU (i 42) FU PR ATRAUENE 4 |. py°dæ

Or,

AT étant le moment fléchissant au point x, et

y'lx = dé, rotation élémentaire au même point.

Par suite, l'intégrale du numérateur exprime l’énergie totale de déformation de la poutre, soit

[ED dx = forcé.

Mais, en vertu du principe de conservation, cette énergie est égale au travail de la pesanteur déformant la poutre, c’est-à-dire à :

‘ ypdx e {ydr,

dP étant la charge élémentaire au point x.

Dot

On a donc maintenant :

143 | L. et (143) | ['orda [ ydP.

Quant à l’intégrale en dénominateur, elle s’écrit simplement : Ê h4) ‘ ap.

Ainsi, le FADpOCE (142) n’est autre que le quotient :

bof JP a

tire) ECS a Jia X

qui définit la longueur À du pendule équivalent au pont chargé, puisque, d’après (135) et (136), on aura :

DUT D x

C’est la période de l’oscillation fondamentale du pont pour un cas de surcharge quelconque.

Le calcul de la flèche pendulaire À est très simple dès que l'on a établi la ligne déformée statique y(x) du pont (fig. 11), ce qui peut se faire avec précision par la méthode graphique au besoin.

En effet, l’intégrale (143) est alors le moment statique des charges dP de cette courbe par rapport à la ligne 00’ des appuis et l’intégrale (144) est leur moment d’inertie par rapport à cette ligne.

L'expression (145) est tout à fait générale et on retrouve bien par elle les résultats déjà obtenus. En particulier, pour une charge isolée P appliquée en un point quelconque de la poutre, qu’elle déforme de 1 en ce point, on trouve bien |

b = gPY q AS D CE

c’est-à-dire le résultat (35) du paragraphe L,3. La flèche pendulaire se confond alors avec la déformation Ÿ au droit de la charge.

Fig: 11.

RSR TE

En dehors de ce cas limite, la longueur pendulaire d’un pont se rapproche toujours beaucoup de sa flèche statique au milieu f, et se confond même de nouveau avec elle dans le cas d’une charge sinusoïdale où l’on a exactement :

On trouvera dans le Cours de M. GRELoT (1) l'expression de la période d’oscillation d’un pont en fonction de sa flèche sous charge uniforme.

Nous en déduirons ici que, dans ce cas,

de sorte qu’on pourra adopter dans la pratique la formule très simple :

T= ar \/25 q

ou encore l’expression

de M. GRELOT.

IL,10. Coefficients dynamiques.

Le coefficient dynamique des grands ouvrages a évidemment même forme que celui des petits, au facteur numérique près que modifie la répartition de la surcharge, laquelle est étendue sur le pont et non plus concentrée.

Il y a toujours deux effets distincts : celui de la force centrifuge et celui de l’oscillation: Le premier donne lieu à la majoration calculée au paragraphe IT,3, comme suite au problème de BRESSE, et qui se résume dans la formule pratique

v étant la vitesse du train en mètres à la seconde, 4 la hauteur de la poutre. C’est le facteur par lequel il faut multiplier les ordonnées de la courbe de déformation statique pour obtenir la courbe déformée par le seul effet centrifuge.

(1) GRELOT. — École des Ponts et Chaussées. Cours de ponts métalliques. Année 1944-1945, p. 197.

CRE Potter

À cela s'ajoute l’amplitude de l’oscillation que peut provoquer le passage de la charge mobile. Soit À cette amplitude et désignons par f la flèche instantanée produite au milieu du pont quand la tête du convoi est parvenue à l’abscisse x — «à (fig. 12). |

Si fi est la valeur statique de f à l'instant £, on aura :

(148) J=h+sm(wt+@)

avec @—0 moyennant un choix convenable de l’origine des temps. Ceci indépendamment de l’effet centrifuge qui majore le tout de 4.

re “

La pulsation © se calcule aisément par la méthode de la flèche pendulaire exposée au paragraphe IL9, c’est-à-dire :

La dérivée au temps de (148) donne :

dau dr de ; + du (+ TE ) cos at.

La durée d’une oscillation étant petite devant celle du passage du

train, l’analyse ne portera que sur une durée très faible qui rend inactif

1 td e terme H °

En faisant t — 0 à l’origine d’une oscillation, on aura :

(150) (= + Lo.

Étudions si : lorsque la charge mobile, de densité p’, avance de

vdt, tout se passe comme si l’on déposait en. avant du train une charge

concentrée dP — p'vdi

qui ferait varier la flèche statique f: de :

if npvd n dépendant de a et de L.

Il s'ensuit que :

(151) SE pp ve

Supposons alors, comme au paragraphe I.6, que la poutre se trouve en repos à cet instant précis. On posera :

(He

et alors, compte tenu de (151) : | np'v + Lœ — 0 d’où (152) ME, (02)

C’est là l’amplitude de l’oscillation qui naîtrait si la charge, trouvant la poutre en repos, se déplaçait brusquement sur elle à la vitesse v. Nous l’avons déjà appelée l'amplitude normale.

Ce cas correspond aux diagrammes « en escalier » fréquemment obtenus dans les essais de ponts et dont on trouvera un exemple à la figure 28.

La majoration dynamique d’oscillation est le rapport ra de l’ampli-

1 = tude à la flèche statique maximum f: qui sera obtenue quand le train couvrira entièrement le pont et qui vaut 5p'li 384. El"

max. fi=—

Mais le facteur n varie lui-même pendant toute la durée du passage et il est maximum quand la tête du convoi passe au milieu du pont. On a alors :