PRET WE

Fig. 13.

se propage dans la barre avec la célérité c du son, de sorte que la masse intéressée dm croît avec le temps et que l’on a :

dm— pScdt,

@ étant la densité de la barre.

L’effort développé par le choc au point À est donc, à l’origine des temps,

d F— =. — pScv.

La puissance rayonnée est

PEtre pScu?.

Ceci est vrai, d’ailleurs, à tout instant, mais la vitesse » varie continuement suivant la réserve d’énergie de la masse incidente M. On

(1) Yves Rocarp. — Dynamique générale des vibrations, p. 35. Adrien FocH. — Acoustique, p. 38.

AA es Le

établirait facilement que, dans notre hypothèse, cette vitesse au point A (x —0) varie selon l'expression

v— ve *

la constante de temps valant :

Ainsi s’amortit le choc de la masse M sur la barre par l’écoulement ou le « rayonnement » dans celle-ci d’une énergie acoustique qui pourra se perdre dans le sol si la barre y est fichée.

Tel est bien le cas de nos culées de ponts avec cette différence que la masse incidente M est remplacée par üne masse oscillante qui reste au contact de la maçonnerie du fait de l’élasticité de cette dernière.

Soit donc M la masse totale du pont chargé dont le poids se reporte également sur quatre appuis. Nous supposerons cette masse concentrée au milieu du pont où elle oscille avec une amplitude & et une fréquence p= - Dans ces conditions, le pont exercera sur chacun de ses appuis:

une force d’inertie :

(162) F—; Ma sin ol.

Remplaçons, pour simplifier, la culée par une pile en maçonnerie de section constante S pour pouvoir l’assimiler à la barre du cas précédent. On pourra écrire, £ étant la densité de la maçonnerie et c la célérité du son dans cette matière,

(163) F— pScv

v étant la vitesse périodique d’impact sur les sabots d’appui. Cette vitesse s’obtient immédiatement en égalant (162) et (163). On trouve :

(164) ae rs

L'énergie emportée par l’onde si dans le Ce dt est donc,

d’après (162) et (164); d'W — AFvdt —

sin” œ{dt

ia .

soit une perte totale, par période :

RTE — Mo (165) AW—f Fodt = TRE.

Si l’on compare cette perte à l'énergie d’oscillation du pont,

(166) W— My =! Mat, il vient :

AW. — 7Mu FLO Un WT 5pS

Ce rapport donne immédiatement la variation relative de l’ampli- ‘tude d’oscillation puisque, à la fin de chaque période où l’énergie se réduit à la forme élastique (car y — 0), on a :

1j, È et que, par conséquent, « AW — kyAy sensiblement.

Par suite ' AW. 24y (168) Space

En comparant (167) et (168), on en déduit

: A Ay __—7Mw — vP ï 9) y 4pSc 2pg5c

P étant le poids total du pont, Pg le poids spécifique de la maçonnerie dont la section totale est 4$.

Ainsi se trouve rattaché l’amortissement de l’oscillation à la perte par rayonnement acoustique des appuis.

Cherchons l’ordre de grandeur : le pont pourrait être appuyé sur deux piles en béton de chacune 20 m° de section pour deux appuis de sorte que

AS = 40 m°.

Le poids spécifique du béton est :

pg— 2.500 kg/mÿ

et la célérité du son y est c — 3.000 m/s. Avec une fréquence v de 5 périodes par seconde on a :

SAS 7 Ta Dès lors, P étant le poids du pont en tonnes, on aura :

23,3% Lo D

Un pont de 300 t donnerait done un décrément

Chaque oscillation verrait ainsi baisser l’amplitude de 10 p. 100. Ceci fait tomber l’amplitude à 8 p. 100 de sa valeur initiale après vingt oscillations ce qui est bien de l’ordre des observations.

Étudions le mouvement oscillatoire du pont : sa masse totale M, surcharge comprise, étant toujours supposée au centre et animée du mouvement vertical y(t) [fig. 14], notons que le mouvement élastique

des appuis sur la maçonnerie apporte un mouvement d’entraînement vertical de l’axe du pont, dont la vitesse v est, d’après (164), en phase avec l’accélération y” de M; elle est donc en quadrature avec la vitesse y de cette masse, de sorte que les appuis sont fixes quand la poutre passe par la forme rectiligne et que la vitesse d'impact v des appuis est maximum en même temps que la flèche du pont.

Par suite de la composition des deux mouvements, la déformation de la poutre, pour un déplacement y de la masse, n’est plus que (y-e) [fig. 15], e étant l’enfoncement élastique des appuis dans la maçonnerie, c’est-à-dire, en partant de la forme rectiligne :

(169 bis) e— vdi.

“TES NE L’équation du mouvement libre de la masse est alors :

(is M5 +k(y—e)=0.

Substituons à e sa valeur (169 bis) et différentions, il vient : MŸ ; (170) M9 +k(D—0)—0.

Or, la vitesse d’impact est liée à l'accélération par la condition dynamique ; hoScv =— M He

Portant ceci dans (170), on obtient l'équation différentielle du mouvement :

d Ji EM dy 7 — Ms Pr 4pSc dé Gars

que nous écrirons :

| uw’ 2hu' + œ$u — 0

en posant :

dy ur k (172) Dh So 0] \ 2 ki U7 Ho (174) | Go — (008 — 2)

d’où la pseudo-période (175) Ti

La fonction (736) u = uge"” COS wt, qui représente la vitesse du mouvement oscillatoire de M au temps : si elle est wo à l’origine des temps, satisfait à l’équation (171).

On repasse de la vitesse à l’élongation en intégrant, ce qui donne, au signe près que nous ee positif :

= 608 (ao + ô)

avec