RO DES

a étant l’amplitude. L’amplitude de la n°” période sera :

a g=rRT

a — + F Va FE avec N—O,1,2,..0, T — période.

On voit que l’amplitude décroît sans cesse et que le rapport de deux amplitudes successives est constamment égal à

err

Ceci confirme le résultat obtenu au début de ce paragraphe car la décroissance relative :

a, A, ad, 4

nr preneEn a, à! 3!

se réduit, aux faibles valeurs de RAT, à :

Aa kT

Mais d’après (173) et en substituant T7, ceci s'écrit :

(179) me

résultat identique à (169) quand on peut confondre &@ et @o ce qui

est bien le cas dans les ponts où ; est de l’ordre de 1/60. La constante de temps h vaut, en effet, 0,30 environ.

Une autre conséquence de l’amortissement est de réduire la fréquence du mouvement oscillatoire. On voit, en effet, par (174) que la pulsation @ est toujours plus petite que la pulsation @o. Si l’amortissement croissait au point que h dépassât œo, le mouvement cesserait d’être oscillatoire et s’éteindrait de façon apériodique.

Ainsi, nous conclurons que les oscillations des ponts, comme tous les mouvements de cette nature, sont amorties avec une constante de temps qui dépend de la raideur des poutres et de la nature des massifs d'appui.

La cause principale en est le rayonnement acoustique des sabots du pont dans la masse des culées et du sol. Ce rayonnement, d’une fréquence de 3 à 5 périodes par seconde, n’est pas audible mais on le ressent nettement au contact du sol quand on stationne sous un pont au passage d’un train. Les ondes sonores qui l’accompagnent, trans-

DER |'à RE

mises par l’air, proviennent des mouvements vibratoires à plus grande fréquence qui s’établissent dans les pièces des tabliers métalliques par réflexion des ondes acoustiques aux abouts de es pièces. | L'examen de (178) montre que les oscillations d’un pont s’éteindront plus vite si le pont est plus raide et s’il est appuyé sur une

substance moins dense et moins élastique car pc=VEo. Aïnsi, un pont provisoire appuyé sur le sol par des camarteaux s’amortira plus vite qu’un pont définitif sur ses maçonneries.

Nous dirons maintenant quelques mots des ponts en béton armé dans lesquels l’amortissement n’est pas seulement dû au rayonnement acoustique des appuis, mais aussi à la structure même du pont, dont la matière constituante n’est qu'imparfaitement élastique, du moins dans les premiers mois de la prise du béton.

Les diagrammes relevés ne présentent alors que peu ou pas d’oscillations (fig. 16) et accusent une flèche rémanente ne disparaissant que

Fig. 16. — (a) diagramme de flexion d'un pont métallique: (b) diagramme de flexion d’un pont en béton; (s) flèche rémanente d'un pont en béton.

plusieurs secondes après le passage du train. Quand, cependant, des oscillations apparaissent, elles présentent une période notablement supérieure à celle d’un pont non amorti. C’est la pseudo-période donnée par la formule (175) du paragraphe III, 1.

Ce sont là les conséquences d’un amortissement considérable qu’on peut évaluer avec les formules précédentes.

En effet, la relation (174) permet de calculer la constante k quand on connaît la fréquence observée w et la fréquence propre :

À étant la flèche pendulaire (IL,9).

L'expérience donne pour ce genre d’ouvrage :

Wÿ=—= (ra 03.) 0