BE 14 DEN

Pour appliquer ces résultats, jusqu'ici exacts, il nous faut connaître la fonction z(x) qui, d’après (6), n’est autre que la courbure de la trajectoire réelle pour la force unité. On aura une approximation suffisante en prenant la dérivée seconde de la fonction (1) pour P — 1, ce

qui donne :

IR en 2 sr (| 6lx+ 6x).

Cette fonction dérivée est positive (donc z1 négatif) aux abouts de la poutre où, par suite, la charge appuie moins sur celle-ci. Elle est négative (donc z1 positif) dans la partie centrale, où, par suite, l’inertie surcharge la poutre. La réaction d’inertie est maximum au milieu

où elle vaut, du fait que

(10) : Rp = PM

La vitesse critique, qui rend R infinie, est évidemment alors : (tt)

En prenant cette vitesse pour base, on peut écrire (10) sous la forme simple : FT

(42) | he er nes |

en posant :

Il suffit donc de connaître la vitesse critique. Si l’on remarque que

le taux de travail N de la poutre est donné, on aura, en désignant par

h la hauteur de celle-ci,

He NPE Nr

(section symétrique)

On en déduit :

et par suite :

Cette vitesse critique est donc la même que celle d’un corps qui tom- ; RO Ep berait d’une hauteur égale à = + Ç fois la hauteur h de la poutre.

Pour l’acier, où l’on a E — 22.000 et N — 11 kg/mm°. cette vitesse est :

v, —\/750gkh

bien accessible pour k < 0 m. 20.

Ainsi, la force d’inertie centrifuge vaudrait :

Pr°

ou, pour v assez petit devant v.:!

Pr?

La majoration dynamique due à l’effet centrifuge serait donc, pour la pratique et dans le cas considéré :

de 7500h°

On voit qu’elle ne dépend que de la hauteur des poutres et reste indépendante de leur portée.

Mais passons maintenant à la résolution correcte de l’équation (3).

b. Solution de STOKESs.

Elle s’établit comme suit :

Posons :

- Ma (l=x) (15) S— ETES L’équation (3) s’écrit :

On en déduit :

an p=9S — Sy"

ARAT), 3j D

le produit gS n’étant autre que l’ordonnée Y (1) de la trajectoire obtenue à très petite vitesse.

Dérivons deux fois l’équation (17) ; il vient :

1! I D'ACTE VAT IF \ PU AS ST sy)

reportant ceci dans (17), on trouve la nouvelle expression : J=gS—vS(g$ (Sy +25y" +Sy")] ou :

(18) | y=9gS —v°g55S"+v'SR,

R2 étant un reste qui contient les dérivées seconde, troisième et quatrième de #.

En dérivant deux fois l’expression (18) et opérant chaque fois de même, on arrive sans peine à l’expression générale :

(19) y=gq$S{1—vA, + v'A, — viA, +... Æyrh,]

R, étant un reste qui contient toutes les dérivées de y jusqu’à l’ordre 2n et les coefficients À ayant les expressions suivantes:

AS A, =S'A, + aS'A! ESA’ A,—S'A, -L 9S'A! + SA’

eye le lose de rer nelle nee) 9150 er.e,

dont la loi de formation est évidente.

En posant :

on a successivement :

S=rx (1— x)?

S'=orx (P— 3x + 2x?) S'— 2r (P— Glx + 6x?) S'=12r(27—l) S"— o4r

Fr

Par suite, et en définissant la position de la charge par 0 =" on établit que :

À,—S"— rl (1 —6.0+6.08) - A, —hrP8 (1 24.0 + 114.0 — 180.05+ 90.0!)

Loue

On constate alors que, suivant la valeur de 06, les coefficients A sont, tantôt de même signe, tantôt de signes alternés, et il en est donc de même des termes de la série (19) qui, toutefois, sont alors alternés quand les À sont de même signe.

D’autre part, la quantité :