PREFACE

Le Formulaire de Mathématiques a pour but de publier les propositions connues sur plusieurs sujets des sciences mathématiques. Ces , propositions sont exprimées en formules par les notations de la Logique mathématique, expliquées dans l'Introduction au Formulaire.

Des essais des premières parties du Formulaire, ont paru comme suppléments de la « Rivista di Matematica » en 1892 (voir t. II, p. 76).

Le^I, II, III parties ont été rédigées et complétées en collaboration auxquelles prirent part notamment à la I partie M. G. Vailati, à la II partie M. F. Castellano, à la III partie M. C. Burali-Forti.

Les Auteurs qui ont rédigé les autres parties sont soussignés.

Les volumes qui paraîtront, contiendront d'autres monographies.

Mais, quel que soit le soin apporté par l'Auteur d'une partie, on pourra y rencontrer des fautes et des lacunes, notamment dans une première édition. D'autre part il est à peu près impossible à une seule personne de compulser tous les livres, de vérifier toutes les indications historiques à cet égard. Nous publierons dans la « Rivista di Matematica » et dans les volumes suivants di^ Formulaire, toutes les additions et les corrections qu'on nous indiquera. On pourra de même republier une partie qui aurait déjà paru, après l'avoir perfectionnée. Chaque partie du Formulaire, bien que commencée par un Auteur, sera en définitive Je résultat du travail de tous les collaborateurs.

Nous ajouterons quelques remarques pour nos futurs collaborateurs.

1. La seule loi qui règle les notations du Formulaire, c'est qu'elles soient les plus simples et les plus précises, pour représenter les propositions dont il s'agit.

2. Les notations sont un peu arbitraires, mais les propositions sont des vérités absolues, indépendantes des notations adoptées.

3. Toutes les fois qu'on traduit en symboles une nouvelle théorie, on introduira des signes nouveaux pour indiquer les idées nouvelles,

ou les nouvelles combinaisons des idées précédentes, qu'on rencontre dans cette théorie.

. 4. La réduction d'une nouvelle théorie en symboles, exige une analyse profonde des idées, qui figurent dans cette branche; avec les symboles on ne peut pas représenter des idées non précises.

5. On ne doit pas représenter par un signe nouveau toute idée indiquée par un mot simple dans le langage ordinaire. Ce point constitue une différence importante entre le langage . ordinaire et les notations de la logique mathé^latique.

6. On introduira une notation nouvelle, au moyen d'une d^/îmiiow, lorsqu'elle apporte une notable simpliiîcation. On ne formera pas une notation nouvelle, lorsqu'on peut déjà représenter la même idée simplement par les notations précédentes. Ainsi, on n'a pas introduit un symbole pour indiquer « le nombre a est premier avec h » car on peut écrire D (a , Z>) = 1 . On n'a pas introduit des symboles pour dire « l'ensemble u est fermé, ou parfait, etc. > , car on peut écrire Duou ^ Du-=Uj etc. (Voir les parties V et VI du Formulaire).

7. On introduira une notation nouvelle seulement si la simplification qu'elle apporte se rencontre dans une suite de propositions. On ne formera pas une théorie avec des définitions.

8. Toutefois, il est bien de former une table des noms du langage ordinaire qu'on ne traduit pas par un symbole simple, mais qu'on décompose dans une combinaisoin de signes.

9. Si l'on n'a pas ce soin, on aura les mêmes propositions écrites plusieurs fois, sous des formes différentes, dont on ne reconnaît pas tout de suite l'identité.- Quelqaefois on présente comme un théorème ce qui n'est qu'une identité.

10. Toute définition est exprimée par une égalité ; dans le premier membre on a le signe qu'on définit, qui est ou un signe nouveau, ou une nouvelle combinaison des signes connus; dans le second on a sa valeur (voir Introd., § 36). Il faut que les deux membres soient homogènes] ils doivent contenir les mêmes lettres variables. Toutefois on peut sousentendre dans le signe qu'on définit quelque lettre variable, si elle a une valeur constante dans une suite de propositions.

11. Nous invitons nos collaborateurs de prendre les lettres variables sous la forme a, b , .,. x , y , z y en italique et de représenter les idées dont la valeur est constante, par les combinaisons des lettres a, b,... en romain, par des majuscules et par des lettres grecques. Dans le manuscrit il convient de souligner les lettres en romain, et non les lettres en italique.

12. Il n'y a pas de confusion possible à représenter par une même lettre des idées différentes dans des propositions différentes. Car au

commencement de chaque proposition, il faut toujours dire la signification des lettres variables.

13. Il convient de dire la signification des lettres variables, et non des combinaisons, ou fonctions des lettres variables, dont la signification est conséquence.

14. Au lieu de rappeler explicitement dans chaque proposition la signification des lettres variables, il suffit de le dire au commencement d'un §, ou d'une suite de propositions (voir p. ex. III § 1 , § 2 , ... V § 1 , § 2 , ...). Cela ne constitue pas une convention nouvelle, mais bien une application des identités de logique a&oc. = :ao.6oc et aob.aoc.^.aobc (Form. I § 1 P36 et 39).

Ainsi (Form. III § 3 P6 , 7) au lieu de dire :

on peut écrire

6". a,6£N.o:aeN6.o.D(a,6) = &

et enfin