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comme on trouve dans le Formulaire.

15. Les expressions, comme a , & e N , qu'on trouve en tête des § ont la signification expliquée. Elles n'ont pas exactement la signification « dans ce qui suit a , b sont des nombres » , car si la proposition a s N se trouve dans la thèse d'une proposition, on ne peut pas la porter dans l'hypothèse, sans contredire aux formules de logique; mais il faut la laisser à sa place.

16. Il faut bien reconnaître dans les différentes parties des propositions les lettres variables, qui sont apparentes dans une expression^ c'est'à-dire telles que la valeur de l'Sqpresslon soit indépendante du nom des lettres. Bien que cela soit expliqué dans l'Introduction au Formulaire, on l'apprend mieux par l'usage.

17. Le signe de déduction o entre des propositions a toujours des lettres variables comme indices, deux cas exceptés. Il n'a pas d'indices écrits lorsqu'il est le signe de déduction principal, qu'on reconnaît au plus grand nombre de points écrits à ses côtés ; dans ce cas les indices sont sousentendus, et sont toutes les lettres variables qui figurent dans les deux membres (Intr. § 14). L'autre cas d'exception se présente

lorsqu'il est entre deux propositions cathégoriques, qui ne dépendent pas de lettres variables (Intr. § 15), c'est-à-dire qui ne contiennent pas de lettres variables, ou qui contiennent seulement de variables apparentes, ou qui contiennent des .variables qui figurent comme indices explicites ou sousen tendus, à un autre signe de déduction, et qui dans cette déduction se comportent comme des constantes. Ainsi dans la P6", ci-dessus écrite, le premier signe de déduction . o : ne porte pas d'indices, car il est le signe de déduction principal ; les indices sousentendus sont a et 6. Le second signe . o . ne porte pas d'indices, car dans les deux membres, il n'y a pas de nouvelles lettres variables.

18. Le signe s (est) sert seulement pour lier le sujet à l'attribut^ l'individu à la classe. Il n'a pas la signification de exister \ on ne peut pas trouver une proposition de la forme a?e . On pourrait même théoriquement supprimer ce signe. Car, si aux symboles Np, q, algg , ... nous attribuons les significations « est un nombre premier », « est un nombre réel », « est un nombre algébrique quadratique », on pourra écrire

Kô-l

7 Np 6 q ^— ^— algg

pour représenter les propositions « 7 est un nombre premier », « e est

un nombre réel » , « — - — est un nombre algébrique, racine d'une

équation du second degré irréductible à coefficients entiers » , sans faire usage du signe e .

19. Les signes de logique, qui figurent entre classes, ou entre propositions, dans le Formulaire, sont au nombre de six, OyO,-, = ,o,A; dans la I partie du Formulaire, on donne comme idées primitives les ^ , - , , et l'on définit les autres. On pourrait faire des combinaisons différentes. Dans le manuscrit il est bon de donner au signe « non » la forme '-^ , afin de ne le pas confondre avec le — (moins).

20. Après avoir écrit une formule en symboles, il convient d'appliquer à la formule quelques transformations de logique. On verra ainsi, s'il est possible de la réduire à une forme plus simple; et l'on reconnaît facilement si la formule n'est pas bieu écrite.

21. Car les notations de logique ne sont pas seulement une tachigraphie, pour représenter sous une forme abrégée les propositions de mathématiques; elles sont un instrument puissant pour analyser les propositions et les théories.

22. H y a toujours des difficultés à ordonner les propositions d'une théorie. On peut les ordonner selon les signes employés pour les écrire. Cette loi conduit, en général, à de bons résultats.

— vn —

23. Dans la numération des propositions d'un § , il est bien de ne pas adopter la suite continue des nombres, mais de laisser des lacunes ; on y écrira les propositions à ajouter.

24. Il est bien de reproduire les indications historiques qu'on rencontre dans les livres, sans les vérifier toutes, car cela exige un long travail, que pourra faire un autre collaborateur.

25. On peut aussi publier les démonstrations des propositions, ou au moins les liens qui subsistent entre les propositions d'une suite.. Mais la transformation en S3'mboles d'une démonstration ^st en général plus difficile que renonciation d'un théorème.

26. La réduction d'une théorie en symboles demande des études, des recherches et des soins, qu'on ne s'imagine pas, si l'on n'a pas fait au moins une fois ce travail. Nous prions donc nos collaborateurs à commencer par réduire une partie simple et courte.

27. Et pour les en récompenser en quelque façon, nous offrons l'abonnement annuel à la Rivista di Matemàtica à tous ceux qui contribueront au développement du Formulaire, en ajoutant de nouvelles parties, ou en corrigeant les parties publiées, et les notes historiques.

G. Peano.

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