x£hy,=^,y = hx

S'il n'y a pas de valeur de x qui satisfait à la condition y = hXy on aura ?i y = a .

Exemples. La relation y = log x , résolue par rapport à x donne X =«= log y ; donc log y == ey , étant e la base des logarithmes.

La relation y = sin a; donne xesiny , x est un des ai'cs dont le sinus est y. La relation mod x==aj où a £ Qo , donne x £ mod a ; donc mod a signifie « ce qui a pour module le nombre a >. Si ce est un q^, a? H- m a signifie « surface sphérique de centre x et de rayon a », et a?-f- ô m a signifie « sphère de centre (v et de rayon a ».

La relation num w = a , où a est un N^ ou oo , résolue par rapport

à Uf donne u e num a ; donc num a signifie « classe d'objets en nombre de a » » P. ex. Np s num oo est équivalent à num Np = oo .

Étant u et V des Kq , la relation v = Du donne ua Dv . P. ex.

wfKq.Dvov.o. num Dv = co,

€ Si v est une classe de quantités, et elle est fermée, selon Cantor, il y a un nombre infini d'ensembles de points qui ont pour classe dérivée la V ».

Si a £ q , r a signifie < classe qui a pour limite supérieure le a ; l' oo * classe illimitée supérieurement ».

Quelquefois parmi les valeurs de x qui satisfont à la condition y = lij' il y en a une plus importante qu'il faut indiquer par une no-

tation spéciale. Ainsi, si a? £ Q , par yx on entend la racine arithmé-

tîqac, et par |/ x on entend l'ensemble des n racines algébriques.

Le signe d'inversion, d'une grande utilité, n'est pas indispensable, car on peut toujours, au lieu des premiers membres des définitions 1 et 2, écrire les seconds.

§ 28. Nous ferons deux applications du signe d'inversion à la Logique.

Soit u une K. En écrivant devant elle le signe a; f , on obtient la proposition xbu\ appelons - la px ; c'est-à-dire posons

xeu. = .px>

Le signe xe est donc un signe d'opération, qui, écrit devant une classe, la transforme en une proposition contenant la lettre variable x,

Kéciproquement, soit px une proposition contenant la lettre variable X ; il résulte déterminée la classe u formée des valeurs de x qui fiatisfont à la condition px , et l'on aura

X£U. = .px »

lËn. résolvant cette équation par rapport k u , on obtient

u = œ£px ,

confotnnément à la notation du § 17.

Soit a une expression contenant une lettre x» Il résulte déterminé un signe de fonction h tel qu'on a

fix = a ,

Si l'on désire donner la signification, non du groupe JiXy mais du

«igné simple h, il suffit de transporter le signe x dans le second membre, et Ton obtient

h = ax ,

Ainsi ax désigne le signe de fonction, qui étant écrit devant x^ produit l'expression a . On déduit hy =^axy] donc axy représente <îe que devient l'expression a lorsqu'au lieu de x on écrit y. Par ex. au lieu de dire (selon l'habitude en analyse): posons /ïc == 35* — 3x on peut dii:e

posons f=(x^ — 3a?) x -et ainsi on donne la signification du signe simple f. Ainsi

(a;2 — 3a;)^5 = 10; -et lx^ — 3x)x'N

représente l'ensemble des valeurs qu'acquiert a?* — 3a? , lorsqu'on donne à X toutes les valeurs de la classe N.

Soit toujours a une expression contenant une lettre x. Il résulte aussi déterminé un signe de fonction h tel que xh^=a] on déduit h^=xa y et yh=^yxa] donc yxa désigne aussi ce que devient l'expression a, lorsqu'on substitue y kx. Mais il est, peut-être, plus commode d'adopter le signe, déjà bien connu, de la substitution, et d'écrire

{^Ja pour désigner ce que devient a, lorsqu' on substitue y à x] et pour indiquer ce que devient a, lorsqu' aux deux lettres xety on substitue x' , y' , au lieu de (x' , y') {x ,y)a on peut écrire | la.

P. ex. (^)(^^-3a.)

est une autre façon d'indiquer la classe

(a;* — 3aî)»N.

Eemarquons que dans toute substitution, on substitue ou une lettre variable, ou une valeur déterminée, ou une expression quelconque, toujours à la place à! une lettre variable, et jamais à celle d'une exprès^ «ion composée. Soit par ex. la formule

{a) f(x-^h) = fx-^hf'x -{-...

On peut dire: posons h^a — x, c'est-à-dire, faisons la substitution

(^ "^ ^) ? et l'on a

mais Texpr^sion « posons a = x-^h », c'est-à-dire, faisons la substitution [ ^ h] ) donne lieu à des ambiguïtés. Car de la formule donnée

et de a^x-hh, on peut éliminer h, et Ton obtient la (6); on peut éliminer Xj et Ton a:

et Ton peut aussi déduire des formules différentes.

g 29. Si a et b sont des K , et ^ £ 6 fa , et si w est une classe contenue dans a , par hu on entend l'ensemble des valeurs que prend la fonction hx , lorsque x prend toutes les valeurs de la classe u. En symboles ;