a jh jCai..hahîa .hoc.o ,h£cîa
« Si a , 6 , c sont des classes, si h est une transformation des a en &, et si la classe 6 est contenue dans c, alors h est aussi une transformation des a en c ».
Si /ifèfa, la fonction h est définie dans la classe a. On n'exclut point qu'elle soit aussi définie, ou qu'on puisse la définir pour des valeurs de la variable non comprises dans la classe a.
Ainsi on a
sinfqfq, et sinfq'fq' « Sin X est, en Trigonométrie, une fonction réelle de x , définie pour
tontes lea valeurs réelles de la variable » et « Sîn x est, en Analyse, une fonctioTi imaginaire de la variable imaginaire x >.
En général :
4, ajbfCsK.hebîa.coa.o.hehfc.
« Étant CE , 6 , c des classes, h une transformation des a en & , et si c est contenu dans a, alors h est aussi une transformation des c en & > .
§ 25. Oq peut lire de plusieurs façons les signes de fonction. Par ex. qfq signifie < fonction réelle d'une variable réelle ». Sont telles, rôlevaÈton au carré, au cube, la fonction sin, etc.
Si a j h sont des q, qf(a'^6) signifie « fonction réelle définie dans rintervalle de <t à 6 ».
Si m egt un nombre, qfZ,^ signifie « correspondance entre les nombres 1 , 2 , ... m et les q » , c'est-à-dire « suite de m quantités » , n ne faut pas confondre une « suite de m quantités », q f Z,^ , avec une * classe de m quantités », qu'on indiquera par K q^iyimm. Dans la BuiLe de quantités, il y a la première, la deuxième, ... 1' m« ; il peut y en avoir d'égales ; et leur nombre sera alors inférieur à m . Les quantités d'une classe ne sont pas ordonnées.
Si hsqtZ^^j h est un signe de fonction; hZ,^ indique la classe des valeurs de kx , lorsque x varie dans Z^^ ; /i est la suite, des m qoantitéiâ, h Z^ est l'ensemble des quantités de la suite.
Étant li une suite de m quantités, usqfZ^y on indique, selon l'usage répandu, la première, la deuxième, ... la m® des quantités u par
au lieu de les indiquer par ul y u2 j ... um, selon les conventions ci-dessus. Donc u £ q f Z^ signifie « soient i^^ , Wg , ... u^ , m quantités » .
Si ït £ q f Z,rt , par 2*^ u , ou '^^^ u^ on désigne leur somme u^^ -f-
1*, -+- ,» H- li,,^ ; et par ïf^ Uj ou n^'[* u^ leur produit u^ u^ ... u,^^ . Ainsi on a :
* tn f N . ii ^ q' f Z,^ . . mod 2^~J^ u^ ^ ^^r i^^^ ^^)
j » . . mod n^~j^ w^ = n^~^ (mod Ur) .
* Étant donn(5e une suite de m quantités imaginaires, où m est un nombre fini, le module de leur somme n'est pas supérieur à la somme des modules des termes ; et le module du produit est égal au produit des modules des facteurs ».
De la même façon on exprime toutes les propositions dans lesquelles se préientent des quantités en nombre quelconque, mais fini.
qfN signifie « Biiîte de quantités correspondantes à la suite illimitée des nombres 1 , 2 , 3 , ,-. » ou * série à termes réels »*
QfN signifie * série à termes positife ^
q' f N » * série à termes imaginaires >
q f n » * série Illimitée dans les deux sens »*
Si u £ qfi^ f et m f N ^ par [^ u)^^ on indique aussi ce qu'on a déjà
indiqué par S w =- m^ h- Wj h- .,, n- m,^ , Donc étant donnée la fonction
tA , on en déduit une nouvelle fonction ^ xl , dont la valeur , lorsque la variable est tr ^ est indiquée par (S u),^^ ^ on pins simplement par 2 1*^ , On peut indiquer par 2 «*^ la limite de ^ m,,, pour m = qo^ ou la somme de !a série. Analoguement on interprète 11 ïi,^ ^ (^ **)m j s*
Pour déterminer une fraction continue, il faut aussi donner une N f N j ou suite de nombres positif. Si w f N f N , et m est un N , par Fc„ u on peut indiquer la valeur de la fraction continuej dont les quotients incomplets sont u^ ^ u^ , ,„ u ,, ; par numl^^j u et dnt,^^ u son numérateur et son dénominateur calculés a raide des règles bien cou nues j et Ton a p. ex,
numt„ Il X <^t)i-n ^ — iiiinit^^^^ u X ^^^n ?* ^ + 1 -
Écrivons p au ]ieu du mot * point » (de le géométrie euclidienne). Alors :
q f p signifie * nombre réel fonction de la i>osition d'un point * Tel est un potendel.
p f q signifie « point fonction d'une variable réelle » ou « point mobile i.
pfp signifie * transformation des points en pointe *. Tels sont le mouvement, la projection et toute transformation géométrique qui, à chaque point fait cor répondre nu et un seuî point.
Des fonctions semblables ^ croissantes j continues ^ etc.
§ 26. Il y a des catbégories do fonctions, que nous mentionnerons rapidement-
Etant a etb des K , par {h fa) sim , ou a indiqué dans le Forma- ^ laire, les transformations semblables (eimiles) des a en b^ c'est-à-dire telles que ^ chaqnc a. corresponde un h, et que chaqne h soit le correspondant d'un et d'un seul a. On les appelle aussi univoques et réciproques. Ainsîj étant m un nombre,
(Z^jtf Z^jjsim signifie * permutation des nombres 1,2, „, m »<
Au contraire Z^ fZ.^ signifie seulement * suite de m nombres pris dans la succesaion 1 , 2 ^ ... m > .
logf (qfQ)8im,
Il peut arriver qu'une transformation & fa aoit telle que à ctiaque a corresponde un & , et à des individus différents de a^ correspondent ausâi des individus diffiSrents de 5. Oq l'appelle encore Semblable, dans nue Bignificadou différente de la preïnièrej et on l'indique par (ôfa)Siinj en écrivant Sim au lieu de sim. Doue:
* Étont a , h des classes, et h une transformation des a en 6, nous dirons que h est Semblable, si^ étiint x^ y des individus quelconques de Qj non é^aux, les valeurs hx et hy gotit aussi différentes *.
Donc h s^ {b f a) suxi sig'uifie que cbaque b est le correspondant d^un et dTun seul a\ hé (6 fa) Sim signifie qu'il n'y a pas de b correspondant à deux valeurs diff<} t'entes de a; c'est-à-dire^ chaque b est le correspondaut d'un seul, ou d'aucun a.
P, ex. (qfZ^f^) Sim signifie -^ suite de m. quantités^ deux à deux inégales ».
Il est clair que, si hs{bîa)^im ^ elle est au^i (ôfa)&ira; mais non réciproquemeut.
Si m , n f N , Z,,^ f Z,^ si^ûifle * suite de n nombres pris dans la série 1 , 2 , ,» tïi s on < arran^-eraent avec répétition des nombres Z,^ à. n h. îx ».
Si m ^ ïi j (Z^,^ f Z,,) Sim signifie < suite de n nombres différents pris dans la racme série », ou « arrangement simple des nombres Z,^^ à n ^ n ^.
Si le nombre des a est fini et égal à celui des 6 , {bïa) sim et (b f o) Sim expriment la même chose-
Exemples.
m , ?i £ N . * nnm (Z ,, f ^,,) = m*^
7^ nura [{Z,^ f Z,J Sim] =^ m (m — 1) ... (m — n h- 1)
» num [{Z,, f Z.J Sim] = m I
m .= N . f £ q f Z,, .g^iZ^ f Z J sim , o , :2'^^ fr ^ 2^;^ f(jgr) . !
* Etant m un nombre fini, fl, f2j.„ fm une suite de m quantités réelles, et g une permutation des nombres 1, 2, ... m ^ c'est-à-dire étant ^ 1 , ^ 2 , ... g m les mêmes nombres écrits dans un autre ordre, on a:
/■H-/"2+...^/'m = /'(j/l) + ;'(ff2)-+-...-f-/(^m) .,
ou « dans une somme d'un nombre fini de termes, on peut changer arbitrairement Tordre des termes ».
Étant u une classe de nombres réels (w £ K q) , continue ou discontinue, parmi les fonctions réelles définies pour les valeurs u de la variable, on a à considérer les fonctions croissantes, par abréviation « cres » (crescens), et les décroissantes, par abréviation « dec ».
î^£Kq.7i£qft6.o.'./i£cres. = :a?i,a?2f w.a?4<a?2.0a;4,a?2«'^i<'^8 » ,o.\he dec . == : > » hx^hx^
Exemples :
log £ (q f Q) cres . sin f q f f — — -—j cres . cos £ q f (0*^ tt) dec .
On a aussi à considérer les fonctions continues, par abréviation « contin ».
Inversion des fonctions,
§ 27. Si a,6£K, et habfay et aî£a, posons
y = 7ix.
Étant donné y , il peut y avoir une et une seule valeur de x qui satisfait à cette équation ; cela arrive si ?i £ sim . Nous indiquerons cette valeur de x par x = hy , donc
1, x = hy. = .y = hœ
et la fonction h s'appelle la fonction inverse de h. S'il y a plusieurs valeurs de x qui satisfont à la condition y -=hxy ces valeurs constituent une classe, que nous indiquerons par hy , et l'on a:
