Jiuo'o ,^=^:xsu .Ox'bœav

4 QlU) '-^V = A. = :X£U.?lX£V. =x A

5, (hu) '^<V'- = A. = :x£u,hxev.^ =x a

qui transforment les seconds membres, qui sont indépendaijts de la lettre x , eu d'autres formules qui ne contiennent pas le x.

Dans le Formulaire, I, § 5, on trouve quelques autres propositions sur les fonctions des classes.

Cette convention est très utile, comme on a déjà vu ; elle ne donne jamais lieu à des ambiguïtés en Algèbre; mais il n'est pas exclu que des arabiguitéa ne puissent se produire. Car nous n'avons pas défini un eigne nouveau, mais bien un groupe hu de signes, et il faut s'assurer que ce groupe n'a pas encore reçu de signification.

Pour ôter cette crainte d'ambiguité, on pourrait introduire un signe

nouveau, pour noter qu'on a fait usage de cette convention. Mais il est plus commode de s'eu servir lorsqu'il n'y a aucune ambiguïté, et s'en abstenir dans le cas contraire, car cette convention n'est pas nécessaire.

Comme application à la logique, xr^a, ou xa, oii x et a sont des classes, représente, quelque soit £c, une classe contenue dans a; et en variant », elle les représente toutes ; car si &oa, il suffit de faire x = b, et l'on a ba = b. Donc K'^a, ou Ka signifie « classe de a » ou « une classe contenue dans a » , selon ce qu'on dit à la fin du § 2. Il ne faut pas lire Ka par « la classe des a », qui signifie simplement « a >.

Les fonctions répétées s'indiquent par des exposants; ainsi h^Xj h^x,,.. signifient Ma;, hhhXy.... Ainsi on écrit d*y, d'^y,... pour indiquer les différentielles de y, et D*y, D^y, ... pour les dérivées. Les règles des exposants sont conservées. (Voir Formulairey 1, §5, P15 et suiv.).

Les Auteurs anglais écrivent aussi sin'^a? pour sin x. Mais alors il faut renoncer aux écritures hybrides sin*a5 pour (sin xy et analogues (*). Avec log^aî on entendra log log x.

Relations,

§ 30. On indique quelquefois une relation entre deux objets au moyen d'un signe, que nous appelons signe de relation, écrit entre les objets. Ainsi en Algèbre on a les relations

a = b, a>b y a<ibj ...

et en Logique,

aeb j aob j , , ,

On peut, au moyen des notations précédentes et sans introduire des notations nouvelles, représenter quelques relations. Ainsi

nul a est 6 s'exprime par a o 6 = a

quelque a est 6 » ao6- = A

le nombre a est premier avec b > D(a , 6) = 1 .

Nous avons déjà dit au §9, que si xciy est une relation entre x

C) M. Stolz, dans sis Grundzûge der Differential- und Integralrech-^ nung écrit sino?^ au lieu de (sin a?)*; tous les Auteurs écrivent da?* au lieu de {ùœf.

et y y sa négation -{xoLy) s' indique par a? -a y; le signe -a représentela négative de la relation a. On a - (- a) = a.

Soit xcLy une relation entre x et y; étant donné y, il résulte déterminée une classe de x qui satisfont à la relation proposée. Cetteclasse est une fonction de y; désignons-la par py; on aura

xa{xoLy) = <py ) d'où xoiy =^xe(py\

donc le signe de relation a est décomposé dans le signe f , et le signede fonction p, et Ton a a = f p; et si l'on veut exprimer <p au moyen de (X , on a p = £ a. Le signe e correspond au mot qui.

Par ex. le signe > en Algèbre signifie « est plus grand que »;, donc le signe a > signifie < plus grand que ». Si a est un q, £ > o^ est équivalent à la classe qu'on a déjà indiquée plus simplement par a -f- Q. On a aussi a <:^a^=^a — Q.

§ 31. Appliquons cette décomposition au signe = . On peut le dé-^ composer dans le signe f , et un signe, que nous écrirons / (<'<7oç), et qui signifie égal\ ainsi xa ty est la même chose que x = y.

Le signe / , qu'on vient d' introduire, est donc un signe de fonction^ qui, écrit en avant d'un individu quelconque x, produit une classe, i Xj la classe des individus qui sont égaux à x. Par ex. 1 signifie « égal à », ou « nul ». On a

« N^^ représente l'ensemble des entiers positife, ou nuls ». Si l'on écrit devant les deux membres xa^ et en appliquant la règle 3 du § 16^ on a

xa^Q. = ,xal^ .^.xa lO c'est-à-dire

a;£No. = .aî£N.v^.aî = 0.

Donc, à la rigueur, il n'est pas permis d'écrire N^ = NwO; car eu appliquant la transformation indiquée, on obtiendra 05 £ Nq . = . a? f N • ^.xaO\ et la proposition xaO n'a pas de signification, car n'est pas une classe, mais un individu.

On pourrait croire qu'on peut supprimer toujours le signe / , ayant soin , lorsqu' on trouve una proposition de la forme a? £ a , où a est un individu (comme [dans l'exemple donné), de l'interpréter par x = a. Mais si cela est permis dans bien des cas, on peut rencontrer des ambiguïtés.

Nous n'avons jamais défini V individu, ni introduit un signe pour le représenter. Tout objet x est considéré comme un individu, lorsqu'il

figure comme sujet dans la proposition xau\ la. u est alors une K. Une classe u figure comme individu lorsqu'elle figure dans une proposition uev'^ alors la classe v a pour individus des classes; elle est donc une KK , une classe de classes. On peut aussi considérer des^ KKK, ou classes de classes de classes, etc.

Écrivons par exemple p au lieu de « point de l'espace ». En Géométrie les points sont toujours considérés comme des individus, où fjiépoç ovôév , selon Euclide. Avec les points on forme des Kp , ou figures géométriques, lignes, surfaces, solides. Si b est une droite, aeb signifie « a est un point de la droite b » .Avec des droites on forme des classes, par exemple un complexe c. Alors bsc signifie « b est une droite du complexe c » , donc c est une classe dont les individus sont des classes de points ; c est donc une KKp. Écrivons d au lieu des mots c complexe linéaire ». Alors ced signifie « c est un complexe .linéaire »; d est une classe dont les individus sont des complexes, c'est-à-dire des KKp; donc d est une KKKp.

Or, si a est une classe, les relations

X sa et x£ia {x=-à), ont des significations diflérentes.

Si a et 6 sont des droites, a^b signifie l'ensemble des points qui se trouvent ou sur a ou sur b ; elle est une classe de points; et ta>Jtb signifie l'ensemble des deux droites, c'est-à-dire la classe qui a pour individus la droite a et la droite b.

Des signes | , t ^^ I •

•§ 32. Les signes que nous venons d'expliquer sont suffisants, et on pourrait faire à moins de plusieurs conventions précédentes. . Maintenant nous en expliquerons encore quelques-unes, au moyen desquelles on peut présenter sous un no veau point de vue les questions déjà étudiées.

Soit xoLy une relation entre x et y. Nous poserons