ya\x==xoLy

Donc a I représente la relation appelée inverse de la a . Par exemple > I signifie < , < I signifie > , o | signifie c , etc. Une relation s'appelle symétriquey si elle est identique avec son inverse. Sont telles les relations indiquées par = , « est premier avec », « est parallèle à », « est perpendiculaire à », etc.

Décomposons le signe de relation a dans le signe s et le signe d'une fonction p , comme on a dit au § 30. La relation inverse de £p est

îndiqnée par (sf)]} peut-on Tindiquer par £(pl)? Cette ftirmuls n'a pas encore de signification. Nous pouvons donc poser £ (p |) = (eç>} | ,

Cette conrention est un cas partieulier de cette autre. Si <i , i , c sont des signes quelconques, et si (ah) c a une signification ^ mais a{bc) en est encore dépourvue^ on posera, par défini tion, a(bc)^(ab)Cj et leur valeur commune s'indiquera par abc^ en supprimant les parenthèses devenues mutiles.

On a donc:

On déduit

<p\x-^y£{xêfy),

ha. fonction p I est une fonction inverse de f ; mais elle n'est pas identique k celle indiquée par p dans le § 27^ prop, 25 car on a:

y£fx. = ,x = py , y£f\x,=^MTafpy.

On peut exprimer p au moyen de p, i et j . En effet x = fy se transforme en a? f / p ^ , d'où^ en enyertisaant aTee le signe \^y^{if)\^\ donc p signifie la même chose que (f p) I- i^)

§ 33p Soient u ^t v des classes, Nous écrirons

Xi^\v au lieu de « ar est dans la relation a avec chaque v » xcl\v '^ * quelque v *

u\ay ï < chaque u est dans la relation a avec y *

u\&.y * * quelque it » »

On peut lire les signes t ^t ^ P^i" c/iaçiie et quelque. En symboles ou a:

1< xa\v .=^:y ^v.o^ .xay 2, X ûl[v . = : y £ V . X a y , ~ =^ A d^ u^oL y , ^= : X £ u . Occ ' X A y 4, ula.y , = :x£tc.xoiy -~=x^ On déduit (t^)t^t(^t)) ^^ on peut supprimer les parenthèses eu écrivant f a^. Ainsi u]ûl\v signifie < tout u est dans la relation a. avec tout V ^ et u^^lv signifie « tout u est dans la relation a avec quelque ^ >, L'expression « ce n'est dans la relation et avec aucun v » s'exprime par x(~ff')\v\ * aucun u n'est dans la relation cl avec i^ » par ^t(-a) 1^,

(*) Dans quelques-uns de mes travaux j'ai <icrit p' uu lieu de p | .

iWil"^' 'II-.,

On a aussi les identités

d'Où

qui donnent lieu à la règle : « La négation d'une relation a combinée avec les mots quelque et chaque, s'obtient par la négation de a et en échangeant les quelque en chaquey et réciproquement ». Exemples:

à\sb signifie quelque a est 6, ou aft- = A,

a\£b » tout a est 6 , ou aoby

a^ Ib > a est égal à quelque &, ou a£&,

al=b » quelque a est égal à 6, ou &fa

d^ I = 1 6 » quelque a est égal à quelque fe, ou oô - = a .

af = j6 » tout a est égal à quelque b, ou ao6.

Si a et è sont des Kq, a\^\b signifie « tout nombre de la classe a est plus grand que tout nombre de la classe & ». Sa négative, a|^|&, signifie « quelque a est plus petit, ou égal, à quelque nombre de l'ensemble b ».

Les relatiotis

xeçlv , X6(p\v

signifient x(£ip)lvGtx{£0)\v. Les formules xa{(p\)vQt aî£(p|)i; n'ont pas de signification. Nous pouvons convenir de poser

X£((p[)v .^^^ .x£ (p\v y œ£ {f\)v .== ,X£ gf\v y ou

0lv = Xt {X t (plv) y (p\v==^X£{X£Ç>\v) y

ou eûcoTe, en substituant à x£f>\v et x£(p\v létir signification,