des longueur

2. des segments en longueur et direction, ou vecteurs, comme les axes des couples de forces.

3. des segments, lorsqu'on considère leur longueur, leur direction et la droite qui les contient, comme les forces appliquées à un corps rigide. Ils sont des formes de 2® espèce de Grassmann.

Si A, B, A', B' sont des points, quelque Auteur désigne par un signe régalité de AB et de A'B' dans Je premier cas; par un autre signe dans le second, et par un troisième signe dans le troisième cas. Ils ont aussi trois sortes d'addition et de soustraction indiquées par

n La notation A B, encore adoptée par quelqu'un, est moins commode, car elle ue conserve pas les règles de l'Algèbre.

des signes différents, etc. (*) Or, cette complication provient de ce qu'on

a indiqué par le même signe AB trois choses différentes* Il sufHt de les

indiquer par des signes différents, et on pourra employer toujours les

mêmes signes =,-+-, — . Ainsi, selon Grassmann^ AB est le troisLèrao

objet, B — A le deuxième, et mod (B — A) Je premier»

Si Ton suit avec rigueur les conrentioiis que nous avons expliquées,.

on pourra toujours, dans chaque formule^ substituer à un objet quel-

2 4 conque un objet égal. Nous avons déjà dit (§ 24) pourquoi de -3-=-- ,.

et de « le numérateur de — est 2 » on ne peut pas déduire « le nu-

mérateur de— -est 2 ». Car réxpression « numérateur de ^ n'est pas

une NfR.

Analoguement ^^ "^ ^ -^ ? et de * -- est une fraction irréductible >^

on ne peut pas déduire « -x- est une fraction irréductible * car V expression « fraction irréductible » n'est pas une KR.

Les notations, qu'on trouve dans quelques traités, /"(a + O) et /(a — ) pour indiquer les limites de /" ( a -h ft ) et f{a—h\ lorsque ^, étant positif, tend vers 0, ne satisfont pas aux conditions énoncées; on ne peut pas au lieu de a -h et de ne — écrire la quantité égale a.

§ 41. L'utilité des définitions est bien connue* Mais il faut remarquer que, à la rigueur, elles ne sont pas nécessaires. On peut toujours au lieu de Np écrire ce que représente ce signe. Au lieu de dire « une sphère de centre et de rayon r coupe une droite, dont la distance k soit plus petite que r, en deux points », on peut dire ^ Sur une droite^ dont la distance du point soit plus petite que r, il y a deux points. qui sont à la distance r de ». Chaque proposition sur les nombres irrationnels est une proposition sur les ensembles de rationnels ; chaque proposition sur les nombres rationnels se transforme en une proposition entre nombres entiers, etc. L'énonciation des propositions, lorsqu' ou substitue à quelques mots leur définition, est un des plus titiles exercices de Logique mathématique.

Une définition n'a pas besoin d'être prouvée. Elle est Teffet de notre volonté, de vouloir représenter un groupe de signes par une expression plus simple. On ne doit par ex. prouver Texistence de ca

(*) BuDDE, Allgemeine Mechanik, Berlin 1890, \, pag. 13, II, pag. 568.

qu'on définit. Naturellement il convient dans la pratique de définir des choses existantes ; mais quelquefois on définit des choses qui n'existent pas. Ainsi Euclide dans son livre IX, prop. 20, pour prouver que le nombre des nombres premiers est infini, dit : posons Î£ = « plus petit commun multiple des nombres premiers ». Et il prouve ensuite que ce qu'il a appelé 5f n'existe pas, c'est-à-dire, c'est le a.. En Algèbre on fait la même chose, lorsqu' on appelle œ une quantité déterminée par des conditions, et après quelques raisonnements on déduit œ = 0.

Dans le Formulaire il convient d';introduire des définitions, et en conséquence, des signes nouveaux, seulement lorsque cette définition porte une notable simplification. Si l'idée exprimée par un mot dans le langage ordinaire, est exprimable par un groupe de symboles assez simples, il est mieux d'écrire toujours ce groupe, que de le représenter par un signe. A défaut de ce soin, on aura les mêmes propositions exprimées plusieurs fois, en échangeant seulement les notations.

§ 42. On ne peut pas toat définir. Cette proposition, bien connue, résulte aussi de ce que nous avons dit. Pour définir un signe a?, il faut pouvoir composer par les signes connus un signe a, tel que l'on ait a? == a. Donc il faut déjà connaître quelques signes.

La question, qui se présente tant de fois « peut-on définir l'objet a? ? » à la rigueur n'est pas bien posée. On la peut mettre sous la forme « peuton définir œ au moyen des objets a^h^c?i> € peut-on former avec les signes a, &, c un groupe de signes égal à â? ? » Dans la pratique la question posée signifie seulement « peut-on définir l'objet œ au moyen d'idées plus simples ?» et il y a de l'arbitraire dans l'évaluation de la simplicité.

Dans toute science, après avoir analysé les idées, en exprimant les plus compliquées au moyen des pi as simples, on en trouve un certain nombre qu'on ne peut plus réduire entre elles, et qu'on ne peut plus définir. Elles sont les idées primitives de la science; il faut les acquérir par l'expérience, ou par induction; il est impossible de les expliquer par déduction.

L'étude des idées primitives a été faite sur quelques sujets. En Arithmétique on peut tout définir au moyen des idées primitives représentées par les signes N , 1 , -+- ; ce dernier signe figure, comme idée primitive, seulement dans la forme a -h 1 (ou on- ), pour indiquer le successif de a.

En Géométrie^ au moyen des mots « point » et « ligne droite (limitée) » on définit la droite illimitée, le plan, le triangle, le tétraèdre, etc., ^t l'on développe toute la Géométrie de position.

La distinction des idées en primitives et dérivées a un peu de l'ar-

"bitraire. Car, si au moyen de a , 6 , c on définit dy et au moyen de aybjd on définit c, on peut prendre pour idées primitives oua,6,e, ou a jbjd. Des raisons de simplicité décident sur le choix.

On détermine les idées primitives, qu'on ne définit pas, au moyen de leur propriétés fondamentales, comme nous verrons tout de suite.

Les idées primitives d'une science constituent le plus petit dictionnaire qui doit être commun entre deux hommes qui parlent des langues •différentes, pour qu'ils puissent s'entendre sur les sujets de cette science.

Démonstrations,

§ 43. Après avoir énoncé les propositions d'une branche des Mathématiques, et reconnu entre elles les définitions, il faut prouver la vérité des autres; et à cela est d'une grande utilité la logique mathématique.

Certainement on a raisonné, et très bien, pendant longtemps, sans recourir aux lois de cette science tout à fait nouvelle. Mais aussi Diophante a résolu, sans connaître d'Algèbre, un grand nombre des problèmes algébriques parmi les plus difficiles.

Les règles de la logique, pour transformer un ensemble d'hypothèses dans la thèse à prouver, sont analogues aux lois de l'Algèbre pour transformer un ensemble d'équations dans une forme où elles soient résolues par rapport aux inconnues. Ces lois n'ont pas été créées par quelqu'un. On les obtient en examinant les raisonnements bien faits; on analyse les différents passages, et l'on érige en règles ces cas particuliers. Les règles du raisonnement sont les formules mêmes de logique. Elles sont déjà fort nombreuses; et peut-être, on en trouvera encore d'autres. Mais celles dont l'usage est le plus fréquent, et dont les autres sont des conséquences, sont en petit nombre, et toutes très simples.

On prend les hypothèses, on les multiplie entre elles, on transporte, exporte, importe des propositions, on change l'ordre des facteurs logiques, on développe des produits, on substitue aux objets définis leur valeur, on simplifie les produits, les sommes, les déductions au moyen des règles connues, etc., et on obtient là thèse.

La transformation des démontrations en symboles est beaucoup plus difficile que la transformation des propositions. Tout mathématicien exercé passe d'un coup d'un ensemble d'hypothèses à la déduction. La réduction en formules de ce passage, c'est-à-dire l'analyse de ce raisonnement et sa transformation en une suite de passages, dans lesquels on n'applique qu'une règle à la fois, est en général longue. Mais celui qui a étudié les formules de logique, une à la fois, peut aussi faire d'un ooup une série de transformations, comme on peut dans une équation faire plusieurs opérations à la fois.

§ 44. Quelle que soit la façon dont ont fait les raisonnementSj sî une science ne contient pas des idées primitives, comme cela arrive dans toute tliéorie élevée, on peut en elle tout déftuir et tout démontrer- Mais si la science touche aux éléments mêmes^ et s'il y a des idées qu'on ne peut pas définir, on trouvera aussi des propositions qu'on no peut pas démontrer, et dont découlent par le raisonnement toutes les autres, Nous ]es appellerons propositions prîmitiveSj et par abréviation Pp; elles s'appellent aussi âxiome^ j postulata^ et quelquefois, hypothèses, lois expérimentales^ etc. Ces propositions déterminenty ou, si Ton veut, définissent les idées primitives, dont on n'a pas donné de défi- Bitîon directe-

Le choix des propositions primitives a aussi de Tarbi traire; car si des propositions a ^ 6 , c on déduit ^ï, et de a jb ^d on déduit c, on peut prendi'e comme propositions primitives les a ,h^c ou les a ^b ,d.

Conclusion.

§ 45. Le problème proposé par Leibniz est donc résolu. On peut changer la forme des signes, qu'on a introduits au fur et à mesure qu'on eu a besoin; on peut eu supprimerj on en ajouter d'autres^ modifier quelques conventionSj etc. Mais nous sommes maintenant en cas d'exprimer toutes les propositions de mathématique au moyen de peu de signcSj ayant une signification prècisCj et assujettis à des règles bien déterminées.

Ces notations permettent aussi de résoudre une question pratiquej qui s'impose tous les jours davantage, La production mathématique est aujourd'hui énorme. Les centaines de journaux périodiques et les nouveaux livres, écrits dans toutes les langues, forment chaque année des bibliothèques.

Pour en faciliter l'étude, on a proposé des répertoires bibliographiques. Or^ tout sujet de mathématique a une très longue bibliographie; et les diverses publications ont une valeur bien difié rente.

Ce qui nous importe est le groupe des propositions qui énoncent toutes les vérités connues sur un sujet Réduites en symboles, elles tiennent probablement moins de place que la bibliographie du sujet- L' intérêt historique sera conservé, si chaque proposition est accompagnée du nom de l'Auteur qui l'a énoncée*

Tel est le projet de la kivhta di Matematicaj qui publie, dans son Formulaire, les recueils des propositions sur les différents sujets de mathématique que nous recevrons, et toutes les corrections et compléments qu'on nous indiquera.