p\v. = .oo£(y£v.Oy.X£<py

Nous avons déjà vu que x=\vy ou œ a t\v signifie simplement X£v. Donc les deux signes t \ se détruisent.

Réduction d'une théorie en symboles,

§ 34. On peut réduire toute théorie en symboles, car tout langage parlé, et toute écriture, est un symbolisme, ou une suite de signes qui représentent des idées. Pour appliquer les signes que nous avons

wmmmm

expliqués, on peut prendre les propositioaa de la théorie dont il s*agitj écrites en langage ordinaire^ et subatituer au mot est les signes e, =, o^ selon les cas^ et au lieu de et, ou, ... les signes ^ j ^, ,.,; et cela ûum granu salîSy car nous avons vu p. ex. que^ selon la position^ la conjonction et est représentée par ^ on par o.

Après cette première transformation^ les propositions sort exprimées par quelques mots, liés par les signes de logique ^ ^ '^ j =, a, etc.; et si cela a été bien fait, les mots qnl restent, sont dépourvus de tonte forme grammaticale; car toutes les relations de la grammaire s'expriment an moyen des signes de logique. Ces mots représentent les idées propres de la théorie qu'on étudie. Alors on analyse les idées représentées par ces mots, on décompose dans les parties simples les idées composées^ et seulement j après une longue suite de réductions et de transformations, on obtient un petit groupe de mots, qu'on peut considérer comme minimum, par lesquels, combinés avec les signes de logique, on peut exprimer toutes les idées et les propositions de la science qu'on étudie.

Réciproquement, pour transformer les formules en langage ordinaire, c'est-à-dire pour lire les formules, il est bien de ne pas lire chaque signe séparément; mais de lire tout un groupe de signes avec le mot qui représente dans notre langage Tîdée composée arec ces signes. Ainsi 2N signifie * les produits de 2 par les entiers positifs > mais ou le lira ^ nombre pair positif* ou * nombre pair :» s'il n'y a pas d'ambigrdté à craindre.

Si X est un q^, et A un Q , x-hf^mk signifie * ce qu'on obtient en ajoutant k x le produit d'un nombre compris entre et 1 par un complexe dont le module est 7i » ; mais on le lira * la sphère de centre X et do rayon /t » ou * un eutour du point iï; *, On voit donc qu'il n'y a pas de nôeesâité de représenter ces idées composées par des signes nouveaux.

Si a est une classe, d- = A signifie * la classe a n*est pas égale au rien »; mais on lira * les a existent », < il y a des a >^ « on peut déterminer un a » ^ * prenons un a > , etc.

Avec VM peu d'habitude on transforme tout de suite les symboles en langage et réciproquement.

§ 35. Comme exemple nous voulons transformer en symboles cette proposition: « La probabilité d'un événement composé est le produit de la probabilité du premier événement par la probabilité qu'acquiert le second quand on sait que le premier est arrivé * {*),

(*) Bertrand, Calcul des probabiUlés, 1889, pag. 26.

Par les signes d'arithmétique elle devient

(probab. évén. comp.) = (prob. premier éven.) X (prob. qu'acquiert ...)

Pour faire disparaître les mots premier et second^ on introduit les lettres variables:

a , & £ (événements) . o . (prob. événement composé avec a et 6) == (prob. a) X (prob. qu'acquiert h quand on sait que a est arrivé).

Maintenant il reste à analyser les idées indiquées par les mots entre parenthèses.

Les événements ou cas possibles (boules contenues dans une urne), forment une classe », variable de question à question, et quelquefois aussi dans la même question. Les cas favorables (boules rouges), forment une classe a contenue dans s , une K« , et la probabilité de a est num a/num 8 . On suppose num s fini, et que les cas de s soient également probables.

Donc on peut traduire « événement > par K, c événement composé avec a et 6 » par a^b y < probabilité de a > par « num a/num s > , et < probabilité qu'acquiert h quand on sait que a est arrivé » par < nombre des b qui sont a , divisé par le nombre des s qui sont a > , ou, en observant que 8^a = aj par num (a ^ &)/num a .

Après cela la proposition devient

^ ^^ num (a ^ b) num a ^ ^ num (a ^^ b)

ssK.a.baKs.o. ^^ = X ^^ ' >

num s num « num a

qui est une identité arithmétique.

Si l'on pose prob (a , s) = num a/num s , la formule prend la forme

8£K,a,baKs. o. prob (a ^6 ,s) ==prob(a,fi) Xprob(an6 ,a).

P. ex. la probabilité pour qu'un nombre tiré au hasard entre les nombres de 1 à 10 soit pair, est

prob(Z,or^2N,ZJ = l/2.

La probabilité que le nombre tiré soit multiple de 3 est

prob (Z,o-^3N,Z,o) = 3/10.

La probabilité pour qu'un nombre tiré^ entre les nombres paires de 1 à 10 soit multiple de 3 est

prob (Zio ^^ 2N r> 3N , Z,o ^ 2N) = 1/5 .

La probabilité pour qu'un nombre tiré au hasard entre les nombres Z^o soit en même temps multiple de 2 et de 3, est le produit de la première par la troisième probabilité.

Ce qu'on a appelé probabilité, quelquefois s'appelle titre de la

monnaie, ou esœmpte, etc. et c'est totyours le rapport entre le nombre, poids, valeur ... d'une partie d'un objet à celui de l'objet entier (*).

Définition.

§ 36, La forme la plus simple d'une définition, en mathématique, est

a;==a Def.

où X est un signe qui n'a pas encore de signification, a est un groupe de signes ayant une signification connue; et nous convenons d'écrire le signe simple œ au lieu du groupe a. Cette convention est exprimée en écrivant le signe --- entre ^ et a, et Def. à la fin de la ligne* Exemple ;

Kp= (N -K 1)- [(N-+- 1) X (N -f- 1)] Def.

Aux mats ^ nombre premier » on attribue la signification de * nombre plus grand que l'unité et qu'on ne peut pas décomposer dans le produit de deux nombres plus grands que l'unité ».

Sauf r importance, ont la même nature des définitions les positioi^ qu^on fait dans un raisonnement quelconque, lorsque, par abréviation, on désigne par une lettre toute une formule.

§ 37* Quelquefois ce qu'on définit n'est pas un signe simple, mais bien un groupe de signes, entre lesquels il y a des signes nouveaux, ou un groupe de signes qui ont séparément une signification, mais tels que lear ensemble n*a pas encore de signification. Alors la définition suit uoe bypothèsej A, et a la forme:

h,3,w = a Def.

« dans l'hypothèse h^ nous écrirons le groupe nouveau a) au lieu du groupe a », Par ex-

a , 6 £ H , , quot {a ^h) == max [Nq ^â? f {œh ^ a)] Def.

< Si o et h sont des nombres entiers positife, par quot (et , b) nous entendons le plus grand des nombres positifs, le compris, tels que leur produit par b ne surpasse pas a ». Nous n'attribuons à quot (a , &) aucun© signification si a et 6 sont des fractions, ou des imaginaires.

(^) M. PoRfiiTSKY a appliqaé la logique mathématiquo au calcul des probabilités, dans un intéressant article publié par la Société Mathématique de l'Université de Kasan, 1887, Solution du problème général de la théorie des proàaàilUés, au moyen de la Logique mathémaiique (en russe).

Comme autre exemple, supposons démontrée la formule

et que e^ soit encore dépourvu de signification pour x imaginaire. Nous poserons alors, selon les traités d'Analyse,

a? f q- q . . e^ = 1 -+- â? H- â?*/2! -h- ... Def.

« Si 0? est un nombre imaginaire q', mais non réductible à un nombre réel, par e^ on entend la somme de la série ,„ », Du théorème (a), et de la définition ici donnée, on déduit a?fq'.o.e^=l-i-â?-h â7*/2! -H ...

qui n'est plus une définition.

§ 38. Il y a des idées, qu'on obtient par abstraction, et dont s'enrichissent incessamment les sciences mathématiqueSj qu'on ne peut pas définir sous la forme énoncée. Soit u un objet; par abstraction on déduit un nouveau objet pw ; on ne peut pas former une égalité

pu^= expression connue, car pt^ est un objet de nature différente de tous ceux qu'on a jusqu' à présent considérés. Alors on définit l'égalité, et Ton pose

hu,v •o:ç>u = j)v , = .pu,v Def,

oti hu,v est l'hypothèse sur les objets u et v; ipu = ^v est l'égalité qu'on définît; elle signifie la même chose que pa^j^j qui est une condition, ou relation, entre u et v, ayant une signification bien connue. Cette relation doit satisfaire aux trois conditions de Tégalitéqui suivent:

1. (pu = ç>Uy c'est-à-dire pu,u doit être vrai, quel que soit te- Une relation telle que chaque objet est dans la relation considérée avec soi-même, s'appelle réflexe.

2. ffu = (pv.o.pv = ç}Uy c'est-à-dire pu, * opo, u. On a appelé syméMque une relation telle que, si u est dana cette relation avec v , V soit dans la même relation avec u.

3. ç)U = (pv .(pv = (pw .0. ç>u==(pwy c'est-à-dire Pit,t^Pv,tv.o.pu^'ijc . Les relations qui satisfont à cette troisième condition s'appellent transitives (*).

Nous dirons que toute relation pu,v qui satisfait à ces trois con-

(*) G. Vailati, Leproprietà fondamentali délie operazioni délia Logica

dedutliva, Rivjsta di Matematica, I, p. 127.

On peut énoncer les mêmes conditions sous des formes differeutes. Voir E.De Amicis, Bipendenza fra alcune propriété nûievoU délie relazioni

fra enli d'un medesimo sistema, Rivista di Mat. H, p. 113;

mmfmf^m

dîtions a les propriétés de Tègalité; elle doime toujouTB lieu à une égalité fu=^fv*

Quelquefois le signe de fonction p est uu signe déjà connu. S'il n/est paa encore connu, on peut introduire le nouveau objet p u , défini seulement par règalitéj et qu'on introduira s' il y a davantage (*).

L'objet indiqué par pii est donc ce qu'on obtient en couâidérant dans u toutes et seules les propriétés qu' il a communes avec îea autres objets V tels que fpu = ^v.

§ 39. Par exemple, Euclide, au commencement du livre V de ses Éléments, a â sa disposition les grandeurs géométriques ^ droites ^ angles, surfaces, et les nombres N. Il s'agit de définir la raison, ou rapport, Koya^^ de deux grandeurs, qui est une idée nouvelle. Après quelques explications (déf* 3 et 4), il défiait (déf. 5) l'égalité de deux raisons.

En Arithmétique, après avoir développé la tbéoiie des nombres entiers, il s'agit d'introduire les nombi-ea rationnels, Lorsqu' il s'agit de la division entre des N, on pose

a, fe £ N , & ^^ K ft , < 6|'a ==== N r. ô^ (aoj = h) Def,

^ Si a et h sout des N, et b est multiple de a, nous écrirons bja au lieu du nombre qui multiplié par a produit b ». Cette définition est donnée dans l'hypothèse que b soit un multiple de a. En conséquence bja n'a pas de signification si fe - £ Na.

On peut supprimer cette hypothèse, et donner la définition différente :

<ï, ï/ £ N , • &;'a =^ N ^ ar £ {ax = b) Def.

Alorsj quels que soient les N, a et ï», a toujours signification la for* mule hjai, si fr^Nfï, elle représente le quot(&, a); si &-fN«, on a hja^Aj c'est-à-dire bja représente le rien. Or, puisqu^ on veut dans la suite que bja représente un nombre rationnel, il faut prendre la première définition, et non la seconde.

{*) La relation entre u ^t v soît algébrique, de la forme

où f est le signe d'une fonction entière des deux variables. Si elle a les trois propriétés iJe Tégalitë, ahars, si réquatiou est du premier degré, elle est réductible a la forme ù? = y, SI Téquation est du deuxième dogré, est rédactibie à U forme

(sr-h)^ = (y-hf A quelle forme sont elles réductibles celles du troisième, quatrième, etc. degré?

Maintenant, si a, 6£N.&-fNa, Texpression bja n'a pas de signification. Nous ferons correspondre au couple des deux nombres a et b un nouveau objet, différent de tous ceux qu'on a jasqu'à présent considérés et que nous représentons par 6/a; et nous poserons par définition bja = d/c . = . (par ex. selon M. Stolz (*)) ad = bc,

II faut tout de suite s'assurer que cette relation est réflexe, symétrique et transitive.

Ce qu'on obtient en considérant dans une suite de deux nombres entiers bja, les propriétés qu'elle a communes avec ses égales, est le nombre rationnel E.

Considérons des ensembles a ,&,... de nombres rationnels. À chaque ensemble a faisons correspondre un nouveau objet, que nous indiquons par l'a ; nous ne dirons pas ce que c'est l'a ; mais nous poserons par définition:

a, &fKR. o:: r a = r &. = .•. â7fR.Oa;:a^(â7-+-R)- = A. = *

€ Si a et 6 sont des ensembles de rationnels, nous dirons que la limite supérieure des a égale la limite supérieure des 6, si, quel que soit le nombre rationnel û(; , s'il y a des nombres de la classe a supérieurs à â? , il y a aussi des nombres de la classe b supérieurs à œ, et réciproquement >.

Les limites supérieures des K R sont les nombres réels Q , y compris il'oo.

En géométrie, la relation entre deux droites limitées € la droite a peut, après un mouvement, coïncider avec la & > a les propriétés des égalités. Elle donne donc lieu à une nouvelle idée, celle de la longueur, ou grandeur d'une droite, et la relation s'écrit gr a = gr 6 . D'habitude on écrit a = &, mais alors avec a et & on n'entend pas les droites, mais bien les longueurs des deux droites.

La relation entre deux droites illimitées « la a est parallèle à la & » a les propriétés de l'égalité. Elle a été transformée en « direction de a = direction de 6 », ou « point à l'infini de a = point à l'infini de b ». On ne peut pas former une égalité de la forme:

« point h l'infini de a » = « expression composée avec les mots des Éléments d'Euclide ».

La relation entre deux couples de points A , B et A' , B' « le couple A , B peut coïncider avec le couple A' , B' par un mouvement de translation » a les propriétés de l'égalité. On la transforme en vecteur de A à B = vecteur de A' à B' ,

I*) Yorlesunpen ûber aUg<tmrine Arithmetik, I, p.. 43.

«t ainsi on introduit le vecteur^ qui est un objet nouveau. Au lieu de < vect^iur de A à B j^ on écrit, selon Grassmann, et aussi selpn Hamilton, B— A (*).

De même on ne peut faire une égalité de la forme Quaternion = « expression composée avec les mots des théories précédeotes *,

lorsqu'on considère les quatemions géométriquement. Un quaternion ^st déterminé par un couple de vecteurs u et t?, et on l'indique par

-. Od dit que deux quatemions sont égaux, lorsque les triangles formés

avec les couples de vecteurs sont dans un même plan, semblables, et du même sens.

Par le même procédé d'abstraction, on obtient les nombres cardinaux et ordinaux infinis de M. Cantor, les points au-delà de l'infini de la géoraetiie hyperbolique, les formes géométriques de Grassmann, et bien d'autres idées de la plus haute importance dans les Mathématiques. Mais d'autre côté on n'a pas reconnu l'utilité de réduire à la forme d'une égalité toute relation qui en a les propriétés. Ainsi on ne traduit pas la relation « la figure a est semblable à la 6 » par ex. par « la forme de a est égale à la forme de 6 >. La projectivité a aussi les qualités de 1'= .

§ 40. L'égalité a = 6 a toujours la même signification: a et 6 sont identiquesj ou a et 6 sont deux noms donnés à la même chose. Quelques AuteurSj lorsqu'on a à étudier une relation qui a les propriétés de 1- égalité, la représentent par un nouveau signe dérivé du signe = . Par exemple, en Mécanique, on a à considérer