LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Introdiiction,

§ 1. Leibniz a énoncé, il y a deux siècles, le projet de créer une écriture universelle, dans laquelle toutes les idées composées fussent exprimées au moyen de signes conventionnels des idées simples, selon des règles fixes. Il dit: « Ea si recte constituta fuerint et ingeniose, scriptura haec universalis aeque erit facilis quam communis, et quae possit sine omni lexico legi, simulque imbibetur omnium rerum fnndamentalis cognitio (*). »

A la solution de ce problème a contribué d'abord le développement de récriture algébrique, qui s'est beaucoup perfectionnée après Leibniz, Au moyen des signes -f- , — , = , > , etc., des parenthèses, et des lettres de l'alphabet, elle permet d'écrire en symboles quelques propositions. Mais ce qui a le plus contribué à la solution du problème, c'est la nouvelle et importante science qu'on appelle Logique mathématique, et qui étudie les propriétés formelles des opérations et des relations de logique. Cette science a été cultivée dans notre siècle par Boole, Catley, Clifpord, Delboeuf, De Morgan, Elus, Frege, Grassmann, GiiNTHER, Halsted, Jevons, Liard, Macfarlane, Me CoLL, Nagy, Peirce, Poretzky, Venn, et par beaucoup d'autres, dont on trouvera le nom dans le livre de M. Schrôder, Algébra der Logik, ouvrage qui contient tout ce qu'on a publié sur cette branche des Mathématiques.

Par la combinaison des signes d'Algèbre et de Logique, on peut exprimer en symboles des propositions toujours plus longues et plufî complètes, et le résultat auquel on est arrivé dans ces dernières

(*) Disserôatlo de arle combinatoria^ Lipsiae, 1666, n. 90.

années, est qu'on peut représenter toutes les relations de logique avec peu de signes, ayant une signification précise, et assujettis à des règles bien déterminées. En conséquence , eu introduisant des signes pour indiquer les idées de l^Âlgèbre^ ou de la Géométrie, on peut énoncer complètement en symboles les propositions de ces scîencea. Maintenant une Société de Mathématiciens publie un formulaire qui se propose de contenir tontes les propositions connues sur certains sujets de Mathématique, Ce formulaire, écrit entièrement en symboles, est publié par la Rivuta di MafemaUca. Ont déjà paru les formules de logique, de l'algèbre éléraentaircj de T arithmétique, la théorie des grandeurs, la théorie des ensembles de points, et sont sous presse ta théorie des limites, des séries, des fonctions continues, des dérivées, etc. Nous nous proposons ici d^expliquer les notations et les lois de cette écriture symbolique.

Classe»,

% 2, Nous écrirons K au lieu du mot < Classe», ou ensemble quelconque d'objets» Ou indique par des signes les classes qui ont quelque importance dans une science. Voici les signes adoptés jusqu'à présent dans le Formulaire:

N ^niiie nombre entier positif-

Bt » nombre entier (positif, nul, ou npgati^.

H^ * nombre entier positif ou nu).

B % nombre rationnel positif*

T » nombre rationnel.

Q » nombre réel positif (quantité)*

q » ,. nombre réel.

% 9^ nombre réel positif ou nul>

q* * nombre imaginaire de la forme x-^yy — 1 »

q^i * nombre complexe d'ordre m.

Np * nombre premier»

Si m est un N, Z^^ ou Zm représente Tensemble des nombres 1,2, ...m.

^i p et q sont des N , et p<iq}^{pjq) représente l'ensemble des nombres p,iïH-l,j>-h 2, .„ q.

Si a et & sont des q^ a^b représente l'ensemble dos nombres réels compris entre a et b^ c' eat-i5t-dire V intervalle de ahb ^ y compris a et 6^ a^b représente le même intervalle sans les extrêmes^ «""& et a*^ b indiquent le même intervalle, en excluant a et comprenant 6, ou réciproquement.

Avec la lettre 6 on désigne Tintervalle 0^1.

On peut regarder ces signes comme des abréviations des mots qu' ils représentent. Mais ils ont une utilité plus grande que celle de l'abréviation, qui est d'être dépourvus de toute forme grammaticale; -on pourra donc les grouper selon les règles qui vont suivre, et on les lira avec la forme grammaticale qu'exige la langue dans laquelle on traduit les formules symboliques.

Si le signe K est seul, il signifie simplement « classe »; mais s'il •est écrit en avant d'une classe donnée u , l'écriture Ku signifie « classe de w » . Ainsi Kq signifie « classe de quantités réelles » ou < ensemble •de points sur une jroite ». (Voir § 29).

§ 3. On peut d'abord combiner les signes qui représentent dés classes •de nombres, par les opérations algébriques, en convenant que si, dans une expression algébrique fx , qui contient en un seul lieu une lettre variable a?, on substitue k x le nom d'une classe u, l'expression fu Indique l'ensemble des valeurs que prend /a?, lorsque x prend toutes les valeurs de la classe u. Ainsi:

2N signifie nombre pair positif.

2n » nombre pair.

2N-hl » nombre impair supérieur à l'unité.

2 N — 1 , ott 2 Ng-f- 1, signifie nombre impair. ♦

« N* signifie nombre carré. *

5« » les puissances de 5

— Q » nombre réel négatif.

Si a est jm N, N X ^j .o^ Na signifie « les multiples de a »'. N« « les puissances a'*">®« » ; a^ c les puis^nces de a » ,

Si a est un q, a h- Q signifie € nombre plus grand que a» ; a — Q signifie « nombre inférieur à a » ; a -h Q^ « nombre supérieur ou égal à a » ,

§ 4. On peut faire une convention analogue pour les fonctions de deux ou de plusieurs variables. Soit fix,y) une expression qui contient dans une seule place la lettre a?, et dans une seule place la lettre y. Si au lieu de x on substitue le nom d'une classe u^ et au lieu de y le nom d'une classe v, f{u,v) indique l'ensembla des valeurs que prend f{x,y) lorsque x prend toutes les valeurs de la classe Uy et y celles de la v. Ainsi N^-+-N^ signifie « l'ensemble des valeurs que prend l'expression x^-hy^^ lorsque x et y sont des entiers positifs », c'est-à-dire « les sommes de deux carrés ». Il faut bien distinguer N* -H N* de 2 N*, qui représente les doubles des carrés.

mm/mm^^im

N/N signifie * le rapport de deux nombres entiers > c'est-à-dire « nombre rationnel »-

(l-f-N) X (1 '^^) signifie « les nombres reetang^ulaires >, Kons avons supposé qne Texpression considcn^e contienne dans une seule place la lettre variable x. Si l'expression contient plusieurs fois le Xj comme la x- — Bx^ et si au lieu de a: on écrit p.e, N^ on obtient N^ — 3N qui représente T ensemble des valeurs que prend l'expression x^ — 3^j lorsque x et p sont dm entiers positifs, c'est-âdirej les résidus quadratiques de 3» On verra dans la suite (§ 28) comment on indique l'ensemble des valeurs qu' acquiert une fonction quelconqjie d'tme variable.

§ 5, On peut appliquer la même convention à la Géométrie» Il faut pour cela avoir k notre disposition des opérations géométriques, analogues à celles de rAigèbre, Or, Mobius avec son Calcul harycentr'ique^ BellavttiSj dans la Méthode d-eê équipoUeiices^ Gkassmanx dans sa Science de Vexteiision (Atisdehnung&lehre), Hamilton' dans les Qua^ tef^niom^ De Saint Venant^ Chelint, etc., ont créé une nouvelle branche des Mathématiques^ qu*on peut appeler Calcul géométrique. Cette science plus puissante que la Géométrie analytique, qui n^est qu^un cas particulier, exécute les opérations tout de suite sur les êtres goomé^ triques j sans passer par les nombres qui les déterminent. Les calculs algébrique, géométrique logique, o^t des opérations analogues, mais assujetties â des règles particulières à chaque espèce de calcuh * Les propriétés des symboles qui se rapportent aux quatemions » , dit M. Tait (*) « nous rappellent les symboles électLfë de la logique, tels qu'ils sout donnés dans le Traité admirable de Boole: Ofi ike Imm of tkought. La similitude frappante de ces deux systèmes de symboles, types de procédés qui sont au fond les mêmes, nous suggère la remarque qu'après tout, il n'y a qu'une science unique dans TAnalyse mathématique^ ayant diverses branches, mais employant dans chacune d'elles les mêmes procédés. Par Tune de ses branches, cette science nous dévoile les mystères de la Géométrie de position, hors de la portée du raisonnement géométrique ordinaire ; par l'autre, elle permet au logicien d'arriver à des vérités de déduction auxquelles il n'aurait jamais pu atteindre sans le secours de l'instrument des formules, >

Faisons seulement usage de la théorie des vecteurs, qui est la partie élémentaire commune à tout calcul géométrique.

(*) QHatê^-fiion^, traduit par Px-Aiia. Paris, 1882, p. 81,

^i u et V mnt des vecteurs non parallèles, qtt signifie vecteur parallèle à u.

qttH-qi? » vecteur complauaire avec u et v.

Si a est un point^

a -h qii signifie droite qui passe par o et a la direction de u, a -\- qiiH-qv )> plan qui passe par a^ et est parallèle aux vecteura u et v.

Relations et opérationB sur les clctêses,

§ 6, Toutes les relations et les opérations de logique s'expriment au moyen des signes

qu'on peut prononcer

est, contient, est contenu^ est égal, et, ou^ non, tout^ rien.

Les signes c et v sont ici mentionnés par symétrie j car ils n^ont aucune utilité pratiqae. La corrmpondance entre les signes et les mots n'est pas totyoars exacte. Voici les valeurs de ces signes.

Soit a une classe. Alors x^a représente la proposition singulière; * X est un individu de U classe a », ou « a; est un a * , Le signe e est l'initiale du mot écru

On écrira x^y^ZBa^ au lieu des propositions xà a^ V ^^^ xa a^ et dans ce caâ le signe € signifie * sont ».

Si a et ^ sont des K j on peut écrire bQa pour indiquer la propoeitioo * la classe h contient la classe a ». Le signe c est T initiale du mot contient. Mais on exprimera toujours la même proposition en écrivant a o & , qu'on lit * la classe a est contenue dans i» 3^ , ou * tout a est ^ » ,

a^h signifie * les classes a et & sont identiques », c'estâ-dire * tout a est &, aoh^ et tout h est ce, hùa »*

a ^ & , ou simplement ah , représente la classe commune aux a et &•

a^hj représente l'ensemble de^ individus qui appartiennent k Tune, au moins, des classes a et h,

- a représente la classe des * non a » , Ainsi h-a signifie * les & qui ne sont pas des a * ,

Parmi les classes il faut aussi considérer la cla^e nulle, ou rien, indiquée par a, et qui dans la Logique mathématique a le même rôle que le dans PAlgèbre. Ainsi a^b = x signifie * nul a est 6 » * La lettre a est l'initiale renversée du mot vraL

^iWî^^P^^B

§ 7. Exemples,

9 £ N* * 9 est un carré » »

13£Îir*-hN* * IB est la gomme de deux carrée ».

3, 5, 7 f Np « 3j 5, 7 sont dea nombres premiers *.

7=^ D 8 N + 1 « toute puissance de 7 e»t de la forme S as + 1,

où iï^' est an N.

2Nn3N=^6N «les multiples communs de 2 et de 3 sont les

multiples de 6 ».

K^p ^ (3 ^ N) 6 N + 1 * les nombreB premiers aupérieurs à 3

ont la forme 6N + 1 », (In- N)*** û 1 1 N w (1 1 N -h 1 ) ■ les puisfiances dixièmes des nom*

l>r«8 supérieurs à Tunité sont de la forme

UN, oïi llN^l ..

4Nv^6No2N fies multiples de 4 et les mïUtiplesde 6 sont

des multiples de 2 »•

Dans cet exemple le sig^ne \^ correspond au mot et

N* *- (3N — 1) =A * il n'y a pas de carrés de la forme 3 N — 1 » ,

Kp'^(4N-Kl)oN*H-N* * les nombres premiers de la forme 4 N H- 1 sont la somme de deux carrés » ,

ifp^(4N — l)^(N*-hN*) = A * des nombres premiers, de la forme 4 N ^ 1 , et sommes de deux carrés, n^êxi&tent point *.

Np = (l-^^)-[(l-)N)X(l + ^)] ■ l^ss nombres premiers êont les nombres supérieurs à T uni té, et qu'on ne peut pas décomposer dans le produit de deux nombres supérieurs à Tunité * *

Si a est N , a/N représente Fenserable des nombres entiers et fi'actionnaires a, a/2j a|3, a/4, ... Pour indiquer ■ les nombres entiars diviseurs de a » on écrira N ^ (ajN),

Propriétés dès opérations de logique,

% 8< Les opérations indiquées par les signes o et ^ s'appellent aussi multiplication logique ^ et addition logique] elles ont toutes les propriétéa des correspondantes opérations algébriques, «t maintes autres, dont voici les plus importantes.

Les lettres a, ï>, c, ,., désignent dea classes, ^

1, a^^b ^^b^^ a 1\ a^6 = &wa,

Ora identités expriment la propriété commutative de la multipli-

cation et de T addition logiques. * Transpoaitio litteramm la eodem termino nihil mntat, nt ab coincidet cnm ba » Leibniz (')-

*Les opérations o et ^^ sont donc asBOciativê»,